Techniques de décomposition de domaine et méthodes d'équations intégrales

L'objet de cette thèse est l'extension de la méthode de décomposition de domaine sans recouvrement introduite par P.-L. Lions et B. Després à la résolution par équations intégrales de problèmes de diffraction d'ondes. Nous avons tout d'abord amélioré la convergence des algorithmes de décomposition de domaine en amortissant la partie évanescente de l'erreur de résolution. Nous avons montré ensuite comment la méthode de décomposition de domaine appliquée à la résolution d'un problème de diffraction faisant intervenir des couches de diélectrique par équations intégrales pouvait diminuer de façon notable la taille des problèmes discrets à résoudre et améliorer leur conditionnement. Dans le cas d'un diélectrique non-homogène, les méthodes de résolution standard utilisent un couplage éléments finis-équations intégrales. En utilisant la méthode de décomposition de domaine, nous avons développé des procédés efficaces et robustes qui découplent complètement au niveau de chaque itération la résolution par éléments finis et celle par équations intégrales. L'utilisation des méthodes de décomposition de domaine par éléments finis nodaux se heurtait jusqu'à maintenant aux problèmes de raccord au niveau des points de jonction. Les résultats de convergence théoriques connus jusqu'à présent pour les problèmes discrets étaient limités à des résolutions par éléments finis mixtes. En montrant que ces résolutions sont équivalentes en fait à un schéma non conforme, nous avons obtenu une explication de la propriété de ces méthodes d'éviter la difficulté du traitement des points de jonction. Cependant, ces méthodes restent plus chères et moins standard que les méthodes nodales. Nous avons pu développer un procédé de traitement des points de jonction qui permet de développer une méthode de décomposition de domaine au niveau discret qui est exactement une méthode itérative de résolution du problème complet. Nous avons établi de façon théorique la convergence de cet algorithme et prouvé que dans certaines situations l'erreur était diminuée par une contraction dont la constante est indépendante du maillage.The aim of this thesis is to develop a non-overlapping domain decomposition method of integral equations for solving scattering harmonic wave problems by perfectly conducting obstacle covered by a dielectric layer. This class of methods was introduced by P.-L. Lions and B. Després and allows us to decrease the size of the discrete problems and improve their condition numbers. We have improved the convergence of the domain decomposition algorithm by introducing the evanescent part of the error. In non-homogeneous dielectric device cases, standard solutions use completely coupled BEM-FEM techniques. The method proposed in this work uncouples the two solutions procedures. One drawback of the domain decomposition method when discretization is performed with nodal finite element, is to define the transmission conditions at the level of the cross points. Theoretical convergence results are only known for discrete mixed finite elements. We have clarified the reason for wich these methods avoid the cross points problem by proving that they are equivalent to a non-conformal scheme. However, these methods are more complex and remain more computationally expensive than nodal finite elements aproaches. We have developed a method that considers the cross points in the case of nodal finite elements. This method allows us to develop a discrete domain decomposition method that is exactly an iterative solution of the initial problem. We have proven the theoretical convergence of this algorithm and have shown on particular cases that the rate of convergence is independent of the mesh.TOULOUSE-INSA (315552106) / SudocSudocFranceF