Contribution à l'étude d'équations de conservation hyperboliques avec adaptation de schémas TVD en présence de discontinuités

Les équations de conservation hyperboliques-.gouvernent un large spectre de phénomènes physiques. Leur structure mathématique particulière est mise à profit pour développer des méthodes numériques adaptées. de type "choc capturing". On étudie dans ce mémoire les deux modèles de l'équation d'advection et.de l'équation de Hopf. L'absence de diffusion empêche généralement une représentation numérique correcte des discontinuités. Cette difficulté existe en particulier pour l'équation d'advection. Son étude permet de déterminer les conditions d'apparition d'erreurs en dissipation et en dispersion en fonction du choix de discrétisation. Cela révèle l'utilité des schémas de type limiteur de pente. Ceux-ci assurent l'absence d'oscillations numériques grâce à une auto-adaptation en fonction des variations locales de la donnée à chaque itération. En accord avec l'étude effectuée, la comparaison de divers limiteurs révèle d'importantes différences sur les profils des solutions numériques. En tenant compte des variations de la donnée sur un domaine spatial plus large on obtient un critère de détection des discontinuités. Celui-ci permet de déterminer les points où il faut corriger la diffusion numérique. Cette anti-diffusion est réalisée en appliquant la méthode de compression artificielle (ACM). L'interprétation des schémas par la méthode des volumes finis permet d'utiliser les mêmes limiteurs dans le cas bidimensionnel. Pour le cas non-linéaire cette technique permet de respecter la propriété de variation totale décroissante (TVD) de l'équation exacte. Il faut également que le schéma assure le respect de l'inégalité d'entropie. On compare différentes formulations de schémas limiteurs de flux. Il est nécessaire de porter une attention particulière au schéma de 1er ordre sous-jacent. Il conditionne la convergence vers la solution physique.LILLE1-BU (590092102) / SudocSudocFranceF