Calcul stochastique généralisé et applications au mouvement brownien fractionnaire (Estimation non paramétrique de la volatilité et test d'adéquation)

Dans la première partie de cette thèse, nous introduisons des intégrales d'ordre m et leur associons des formules d'Itô. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas du mouvement brownien fractionnaire. Dans la seconde partie, nous étudions les approximations aux premier et second ordres des intégrales d'ordre m. Nous donnons des résultats de convergences presque sûre et en loi. Dans la troisième partie, nous nous intéressons aux équations différentielles dirigées par une fonction höldérienne. Nous donnons un résultat d'existence et d'unicité et étudions deux approximations de la solution. Dans la quatrième partie, nous étudions l'absolue continuité de la loi de la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par un mouvement brownien fractionnaire. Nous proposons un critère simple assurant que la solution au temps t admet une densité. Enfin, la dernière partie s'intéresse à l'estimation du coefficient de volatilité de la solution d'une équation différentielle stochastique classique. Nous construisons également un test d'adéquation.In the first part of this thesis, we introduce the notion of m-order integrals and we associate with some Itô's type formulae. The case of fractional Brownian motion is investigated. In the second part, we study first and second orders approximations of m-order integrals, the convergence being almost surely or in law. In the third part, we study differential equations driven by an Hölder continuous function. We prove existence and uniqueness and we give two approximations of the solution. In the fourth part, we prove that under suitable assumptions, the solution at time t to a stochastic differential equation driven by a fractional Brownian motion, has a density. The last part deals with estimation of the volatility coefficient in a classical model. We also construct a goodness-of-fit test.NANCY1-SCD Sciences & Techniques (545782101) / SudocSudocFranceF