Numerical methods for nonlinear elliptic and parabolic equations (application to flow problems in porous and fractured media)

Nous étudions des méthodes numériques pour la simulation de l'écoulement et du transport de contaminants en milieux poreux et fracturés. Au chapitre 1, nous proposons un schéma permettant une discrétisation efficace, robuste, conservative et stable des équations de convection réaction diffusion paraboliques dégénérées sur des maillages non structurés en dimensions 2 ou 3 d'espace. Nous discrétisons le terme de diffusion, en général anisotrope, par la méthode des éléments finis non conformes et les autres termes par celle des volumes finis et démontrons l'existence et l'unicité d'une solution discrète et sa convergence vers une solution faible. Nous proposons finalement une variante de ce schéma pour des maillages qui ne se raccordent pas et nous l'appliquons aux simulations réelles. Au chapitre 2, nous présentons une démonstration constructive des inégalités de Poincaré Friedrichs discrètes et indiquons les valeurs optimales des constantes dans ces inégalités. Ces résultats sont importants dans l'analyse de méthodes numériques non conformes. Au chapitre 3, nous montrons que la méthode des éléments finis mixtes de Raviart Thomas de plus bas degré est équivalente à un schéma de volumes finis à plusieurs points. Cette approche permet de réduire le temps de calcul de la méthode des éléments finis mixtes, tout en conservant sa grande précision, ce qui est confirmé par les tests numériques. Enfin, au chapitre 4, nous proposons une version de la méthode des éléments finis mixtes pour la simulation de l'écoulement dans un réseau de fractures perturbant un massif rocheux, démontrons qu'elle est bien posée et étudions sa relation avec la méthode des éléments finis non conformes.We study numerical methods for the simulation of flow and contaminant transport in porous and fractured media. In Chapter 1 we propose a scheme allowing for efficient, robust, conservative, and stable discretizations of nonlinear degenerate parabolic convection reaction diffusion equations on unstructured grids in two or three space dimensions. We discretize the generally anisotropic diffusion term by means of the nonconforming finite element method and the other terms by means of the finite volume method and show the existence and uniqueness of a discrete solution and its convergence to a weak solution. We finally propose a version of this scheme for nonmatching grids and apply it to real simulations. In Chapter 2 we present a direct proof of the discrete Poincaré Friedrichs inequalities and indicate optimal values of the constants in these inequalities. The results are important in the analysis of nonconforming numerical methods. In Chapter 3 we show that the lowest-order Raviart Thomas mixed finite element method is equivalent to a particular multi-point finite volume scheme. This approach allows significant reduction of the computational time of the mixed finite element method without any loss of its high precision, which is confirmed by numerical experiments. Finally, in Chapter 4 we propose a version of the lowest-order Raviart Thomas mixed finite element method for flow simulation in fracture networks that perturb rock massifs, prove that it is well posed, and study its relation to the nonconforming finite element method.ORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocORSAY-PARIS 11-Bib. Maths (914712203) / SudocSudocFranceF