Contributions à la théorie de Morse discrète et à l'homologie de Heegaard-Floer combinatoire

Cette thèse porte sur deux aspects de la théorie de Morse: théorie de Morse discrète de Forman (cas de la dimension finie) et homologiede HeegaardFloer (cas de la dimension infinie). Dans une première partie, on s'intéresse au problème de relèvement de signe pour l'homologie de HeegaardFloer combinatoire. On montre que la construction originale faite par Manolescu, Ozsváth, Szabó et D. Thurston peut être refaite de manière plus conceptuelle. On donne ensuite le lien entre ces deux constructions puis finalement on décrit un algorithme qui permet de calculer les signes. La seconde partie porte sur la théorie de Morse discrète définie par Forman. Après avoir fait le lien entre l'algèbre sur les complexes de chaînes et la théorie de Morse discrète, on montre que le complexe de ThomSmale donné par une fonction de Morse lisse sur variété lisse close peut être réalisé par une triangulation et une fonction de Morse discrète sur celleci. On utilise cela pour obtenir une représentation particulière sous forme de couplage complet de toute structure d'Euler sur une variété de dimension 3 close orientée.This thesis deals with two aspects of Morse theory: Forman discrete Morse theory (finite dimension case) and link Floer homology (infinite dimension case). In the first part, we focus on the sign refinement problem for combinatorial link Floer homology. We give another construction which is more conceptual than the original one done by Manolescu, Ozsváth, Szabó and D. Thurston. Then we give the link between both constructions and describe and algorithm to compute signs. The second part deals with Forman's discrete Morse theory. After explaining the relation between it and algebra over chain complexes we prove that any combinatorial ThomSmale complex given by a smooth Morse function on a smooth closed manifold can be combinatorially realized by a triangulation and a discrete Morse function on it. We use this to obtain a representation by a complete matching of any Euler structure on a closed oriented 3manifoldLORIENT-BU (561212106) / SudocSudocFranceF