Analyse spectrale de Hamiltoniens de théorie quantique des champs

Les résultats contenus dans cette thèse concernent l étude de certains modèles de théorie quantique des champs. Dans le premier chapitre, nous avons considéré une classe abstraite de hamiltoniens de théorie quantique des champs, de la forme $H=\textrm{d}\Gamma(\omega) + V$ agissant sur l espace de Fock bosonique $\Gamma(\mathfrak {h}) $ où $omega$ est un hamiltonien d une particule agissant sur $\mathfrak{h}$ et $V$ est un polyn\^{o}me de Wick pour un noyau $w$. Les résultats contenus dans cette thèse concernent l étude de certains modèles de théorie quantique des champs. Sous des hypothèses naturelles sur le hamiltonien d une particule et sur le noyau de l interaction, nous décrivons le spectre essentiel et nous prouvons l estimation de Mourre en dehors d un ensemble des seuils, nous montrons l existence des champs asymptotiques et nous prouvons la complétude asymptotique. Un exemple est le modèle $P(\varphi)_{2}$ à coefficients variables avec troncature en espace, de la forme \[H=\texttrm{d}\Gamma(\omega) + \int _ {mathbb{R}}g(x) : \P(x\arphi(x))\ !:textrm{d}x,\] sur l espace bosonique $\Gamma(\mathfrak{h})$ avec $\ch=L^{2}(\mathbb{R})$,où l énergie $\omega= h^{\12}$ est la racine carrée de l opérateur différentiel réel du deuxième ordre $h=D_{x}a{x}D_{x}$+ c{x}$, où les coefficients $a(x), c(x)$ tendent respectivement vers $1$ et $m_{\infty}^{2}$ à l infini pour un certain $m _{\infty}{2}$ à l infini pour un certain $m_{\infty}>0$. Sous certaines conditions sur la décroissance à l infini de $a(x)-1$ et $c (x)-m^2 _ {\infty}$, nous prouvons dans le deuxième chapitre que les conditions abstraites du premier chapitre sont satisfaites pour ce modèle. Le troisième chapitre est consacré au problème de l existence d un état fondamental pour un modèle décrivant $N$ fermions scalaires.non-relativistes qui interagissent avec un champ de bosons scalaires, dans le cas de potentiel N-corps. Nous prouvons que l état fondamental n existe pas dans la représentation de Fock, mais qu il est possible de construire une autre représentation des relations de commutation canoniques non-unitairement équivalente dans laquelle il existe.In this thesis we present results about some model in Quantum Field Theory.In first chapter we introduce an abstract class of bosonic QFT Hamiltonians of the form $H=\textrm{d}\Gamma(\omega) + V$ acting on the bosonic Fock space $\Gamma(\mathfrak {h}) $, where $omega$ is a massive one-particule Hamiltonian acting on $\mathfrak{h}$ and $V$ a Wick polynomial $w$. Under natural hypothesis on the one-particle Hamiltonian and the kernel $w$, we describe the essential spectrumof $H$, prove à Mourre estimate outside a set of thresholds, prove the existence of asymptotic fields, and the asymptotic completeness.An example is the space-cutoff $P(\varphi)_{2}$ model with a variable metric of the metric of the form \[H=\texttrm{d}\Gamma(\omega) + \int _ {mathbb{R}}g(x) : \P(x\arphi(x))\ !:textrm{d}x,\] on the bosonic Fock space $\Gamma(\mathfrak{h})$ with $\ch=L^{2}(\mathbb{R})$,where the kinetic energy $\omega= h^{\12}$ is the square root of a real second order differential operator $h=D_{x}a{x}D_{x}$+ c{x}$, where the coefficients $a(x), c(x)$tend respectively to $1$ and $m_{\infty}^{2}$ at ${\infty}for some $m{\infty}>0$. Under some condition on the decay of at infinity of $a(x)-1$and $c(x)ORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocSudocFranceF