Black-Scholes models of option pricing

Název práce: Blackovy-Scholesovy modely oceňování opcí Autor: Martin Čekal Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Matematicko-fyzikální fakulta UK v Praze, Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. Abstrakt: V předložené práci studujeme rozšíření Blackova-Scholesova modelu pomocí frakcionálního Brownova pohybu a skokových procesů. Hlavním výsledkem je odvození ceny call opce pro frakcionální skokový trh. První kapitola se zabývá fenoménem dlouhé paměti a slouží jako úvod do problematiky jejího modelování pomocí diskrétních a spojitých modelů. Ve druhé kapitole je zaveden frakcionální Brownův pohyb a odpovídající stochastická analýza, dále rozšíříme pojem Lévyho procesu a skokového procesu. Třetí kapitola se zabývá frakcionálním Blackovým-Scholesovým modelem. Ve čtvrté kapitole jsou využity zobecnění pojmů z druhé kapitoly na konstrukci frakcionálního skokového Blackova-Scholesova modelu a odvození explicitního vzorce pro cenu evropské call opce. Pátá kapitola analyzuje dlouhou paměť v simulovaných a empirických datech. Klíčová slova: Blackův-Scholesův model, frakcionální Brownův pohyb, frakcionální skokový proces, dlouhá paměť, oceňování opcí.Title: Black-Scholes Models of Option Pricing Author: Martin Cekal Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: prof. RNDr. Bohdan Maslowski, DrSc., Charles University in Prague, Faculty of Mathematics and Physics, Department of Probability and Mathematical Statistics. Abstract: In the present master thesis we study a generalization of Black-Scholes model using fractional Brownian motion and jump processes. The main goal is a derivation of the price of call option in a fractional jump market model. The first chapter introduces long memory and its modelling by discrete and continuous time models. In the second chapter fractional Brownian motion is defined, appropriate stochastic analysis is developed and we generalize the notion of Lévy and jump processes. The third chapter introduces fractional Black-Scholes model. In the fourth chapter, tools developed in the second chapter are used for the construction of jump fractional Black-Scholes model and derivation of explicit formula for the price of european call option. In the fifth chapter, we analyze long memory contained in simulated and empirical time series. Keywords: Black-Scholes model, fractional Brownian motion, fractional jump process, long- memory, options pricing.Katedra pravděpodobnosti a matematické statistikyDepartment of Probability and Mathematical StatisticsFaculty of Mathematics and PhysicsMatematicko-fyzikální fakult