Algèbres de Hecke, séries génératices et applications

Le résultat principal dans le travail présenté est le calcul explicite de la série génératrice des opérateurs de Hecke dans l'algèbre de Hecke locale pour les groupes symplectiques de genre 3 et 4. L'algorithme est basé sur l'isomorphisme de Satake, qui permet de réaliser toutes les opérations dans l'algèbre des polynômes à plusieurs variables. C'est la première fois que cette expression est calculée pour le genre 4. Pour obtenir le résultat principal, une méthode de calcul symbolique a été développée. Cette approche algorithmique s'applique à d'autres types de séries de Hecke. En particulier, nous formulons et prouvons un analogue du Lemme de Rankin pour le genre 2. Nous avons aussi calculé les séries génératrices des carrés symétriques et des cubes symétriques.Se basant sur nos résultats nous formulons une conjecture de modularité pour les convolutions des fonctions L spineurs associées aux formes modulaires de Siegel. Nous considérons d'autres conjectures importantes liées aux formes modulaires de Siegel et à leurs fonctions L. Nous utilisons ces constructions pour calculer les facteurs algébriques rationnels aux valeurs critiques de la fonction L spineur attachée à F12 de Miyawaki. A notre connaissance c'est le premier exemple d'une fonction L-spineur de forme parabolique de Siegel de degré 3, dont certaines valeurs spéciales peuvent être calculées explicitement.Finalement, nous appliquons la théorie des algèbres de Hecke pour construire des cryptosystèmes algébriques sur ensembles finis de classes à gauches dans l'algèbre de Hecke. Nous utilisons une relation entre les classes à gauches et les points sur certains variétés algébriques projectives.The main result in presented work consists of explicit computation of the generating power series of Hecke operators in local Hecke algebra for the symplectic groups of genus 3 and 4. The computation algorithm is based on the Satake isomorphism, which allows to carry out all operations in the algebra of polynomials in multiple variables. This is the first time when this expression was computed in genus 4. In order to obtain the main result, the method of symbolic computation was developed. This algorithmic approach is also applied to other types of Hecke series. In particular, we formulate and prove the analog of Rankin's Lemma in higher genus. We also computed the symmetric squares and symmetric cubes generating series.Based on our computational results we formulate a modularity lifting conjecture for convolutions of L-functions attached to Siegel modular forms. We review other important conjectures related to Siegel modular forms and their L-functions. We use these constructions to compute the rational algebraic factors in critical values of the spinor L-function attached to F12 of Miyawaki. To our knowledge this is the first example of a spinor L-function of Siegel cusp forms of degree 3, when the special values can be computed explicitly. Finally, we apply the theory of Hecke algebras to constructions of algebraic cryptosystems on some finite sets of left cosets in Hecke algebra. We use a relation between left cosets and points on certain projective algebraic varieties.GRENOBLE1-BU Sciences (384212103) / SudocSudocFranceF