Etude de quelques propriétés des équations aux dérivées partielles (propagation des singularités, identification du potentiel et stabilisation)

Cette thèse se compose de trois parties. Dans la première partie, on étudie la propagation du front d onde analytique pour les solutions de l équation de Schrödinger généralisée (le laplacien est remplacé par une puissance du laplacien) à coefficients variables. En définissant une géométrie générale du front d onde analytique, on obtient des résultas de propagation analogues à ceux déjà obtenus pour l équation de Schrödinger à coefficients variables. Dans la deuxième partie, on étudie un problème inverse pour identifier le potentiel d une équation de Schrödinger à partir d une infinité de mesures effectuées sur une partie ouverte du bord. En supposant que le potentiel est connu sur un voisinage du bord, on montre un résultat de stabilité logarithmique. La dernière partie est une étude de la stabilité d un modèle d interaction fluide-structure. Il s agit d un système d équations de la chaleur et des ondes couplées par des conditions de transmission à l interface. En démontrant des inégalités de Carleman, on montre, sans aucune restriction géométrique, un résultat de décroissance logarithmiqueThis thesis consists of three parts. The purpose, of the first part, is to define a general geometry of the analytic wavefront set, in order to study the microlocal singularity of solutions to the Schrödinger equation with high power. In the second part, we study, in dimension n> or =3, the inverse problem of determining the potential q of the Schrödinger equation from infinity measurements on any open subset of the boundary. Provided that q is known in a neighborhood of the boundary, we prove the logarithmic stability estimate. The last part is devoted to the study of a coupled system consisting in a wave and heat equations coupled through transmission condition along a steady interface. This system is a linearized model for fluid-structure interaction introduced by Rauch, Zhang and Zuazua for a simple transmission condition and by Zhang and Zuazua for a natural transmission condition. Using an abstract Theorem of Burq and a new Carleman estimate shown near the interface, we complete the results obtained by Zhang and Zuazua and by Duyckaerts. We show, without any geometric restriction, a logarithmic decay result.VERSAILLES-BU Sciences et IUT (786462101) / SudocSudocFranceF