Randić index and cycles in graphs and applications

Un cycle Hamiltonien est un cycle qui contient tous les sommets du graphe. Déterminer si un graphe contient un cycle Hamiltonien est un problème NP-complet. C'est pourquoi on s'intéresse particulièrement aux conditions nécessaires de la hamiltonicité. Un sous-ensemble S de V(G) est dit cyclable dans G si tous les sommets de S font partie d'un même cycle dans G. La cyclabilité est une généralisation naturelle de la hamiltonicité car, si S=V(G), il est équivalent de dire "S est cyclable" et "G est Hamiltonien". Dans la première partie de cette thèse nous étudions des conditions de degré implicites pour qu'un graphe 2-connexe et sans griffe est Hamiltonien. Dans la deuxième partie de la thèse nous obtenons un résultat concernant la somme de degré et la cardinalité de l'union des voisinages de quatre sommets indépendants pour la cyclabilité. Soit G un graphe arête-coloré. On définie le degré de coloration d'un sommet v comme étant le nombre maximal d'arêtes incidentes ayant tous des couleurs différentes. Un sous-graphe H de G est appelé hétérochromatique si tout pair d'arêtes dans H est coloré avec deux couleurs distinctes. Dans la troisième partie de la thèse nous étudions des cycles et des chaines hétérochromatiques dans des graphes sans triangle et des graphes bipartis sous des conditions des degrés de coloration. La dernière partie de la thèse est dédiée à l'indice topologique dénommé "indice de Randić". L'indice de Randić d'une molécule organique avec graphe moléculaire correspondant G a été introduit par le chimiste Milan Randić en 1975. Beaucoup de paramètres d'un graphe sont liés à l'indice de Randić comme par exemple le degré, le couplage, la maille etc. Nous proposons une borne inférieure forte sur l'indice de Randić pour des graphes unicycliques et bicycliques de maille g, confirmant partiellement une conjecture. De plus, nous traitons des graphes bicycliques avec couplage et nous présentons des bornes supérieures et inférieures fortes sur l'indice de Randić.A Hamilton cycle is a cycle which contains all vertices of the graph. Determining whether Hamilton cycles exist in graphs is NP-complete. Therefore it is natural to study sufficient conditions for hamiltonicity. A subset S of V(G) is called cyclable in G if all the vertices of S belong to a common cycle in G. Cyclability is a natural generalization of hamiltonicity since clearly, if S=V(G), "S is cyclable" is equivalent to "G is Hamiltonian". The first part of the thesis studies the implicit degree conditions for hamiltonicity in 2-connected claw-free graphs. The second part of the thesis obtain a result concerning the union of degree sums and neighborhood conditions of four independent vertices for cyclability. Let G be an edge-colored graph. The color degree of a vertex v, be defined as the maximum number of edges incident with v, that have distinct colors. A subgraph H of G is called heterochromatic if any pair of edges in H have distinct colors. In the third part of the thesis, we consider heterochromatic cycles and paths in triangle-free graphs and bipartite graphs under color degree conditions. The last part of the thesis is devoted to a topological index "Randić index". The Randić index of an organic molecule whose molecular graphs is G was introduced by the chemist Milan Randić in 1975. There are plenty of graph parameters related to the Randić index, for example, degree, matching, girth et al. We give sharp lower bound of Randić index of unicyclic and bicyclic graphs with girth g which partly corfirm a conjecture. We also deal with bicyclic graphs with matchings and give a sharp upper and lower bound of Randić index.ORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocSudocFranceF