Calculs stochastique et de Malliavin appliqués aux modèles de taux d'intérêt engendrant des formules fermées

Cette thèse traite des fonctionnelles exponentielles du mouvement brownien et porte en particulier sur des calculs explicites de prix de bonds zérocoupon associés au modèle de taux d'intérêt de Dothan. En utilisant des méthodes de noyaux de la chaleur et de résolution d'équations de Fokker-Planck, nous donnons des formules explicites de densités de probabilités ou de leurs transformées de Laplace. Les différentes formules intégrales obtenues complètent celles de l'article original "On the Term Structure of Interest Rates" (L. U.Dothan). La méthode utilisée est directe et implique notamment une nouvelle représentation intégrale pour le module au carré de la fonction Gamma. Nous étudions ensuite les applications à la physique et aux mathématiques financières des résultats obtenus pour les fonctionnelles périodiques et hyperboliques du mouvement brownien. Nous traitons aussi de calculs de sensibilités d'options par le calcul de Malliavin. Nous donnons des expressions explicites de l'indicateur delta pour des prix d'options asiatiques et des obligations reposant sur des taux courts traités dans la première partie de la thèse.In this thesis we first work on exponential functionals of Brownian motion, with explicit computations of zero-coupon bond prices assiciated to the Dothan short-term interest rate model. Using methods of integral representations for heat kernels and Fokker-Planck framework, we give explicit formulae for probability densities or their Laplace transforms, which complete those of the original paper "On the Term Structure of Interest Rates" (L. U. Dothan). We propose direct solutions based on a new integral representation for the square modulus of the Gamma function. Then we present applications in physics and financial mathematics for the formulae associated to periodic and hyperbolic functionals of Brownian motion. We also focus on sensibility formulae with Malliavin calculus in Asian options and bond pricing frameworks, with explicit computations for the delta in case of an underlying asset that has been studied in the first part of the thesis.POITIERS-BU Sciences (861942102) / SudocPOITIERS-Univ-Dép.Maths (860622202) / SudocSudocFranceF