Quelques problèmes de mécanique statistique

Les travaux présentés relèvent d'une branche des probabilités que l'on appelle la mécanique statistique.L'idée générale est que l'on étudie des systèmes infinis de particules en essayant d'établir le lien entre les propriétés microscopiques (par exemple l'interaction entre des particules proches) et les propriétés macroscopiques (par exempleles caractéristiques à grande échelle des mesures d'équilibre.)Ce mémoire se divise en trois parties:- Mesures de Gibbs et champs gaussiens- Percolation et mesures de Gibbs- Percolation de premier passage et compétitionLa première partietraite des mesure de Gibbs gaussiennes, classiques et quantiques.On y étudie finement la structure de l'ensemble des mesures de Gibbsclassiques (\resp quantiques) dont le support est raisonnable ainsi que les dynamiques stochastiques de gradient canoniquement associées. Une attention particulière est accordée à l'influence de la transition de phase.La deuxième partie traite de problèmes associant percolation et mesure deGibbs, à savoir l'existence de transition de percolation dans des modèles issusde perturbations d'interactions quadratiques et des théorèmes de limite centrale pour la répartition des phases dans les modèles d'Ising et de Potts.La troisième partie étudie des modèles de percolation de premier passage etdes problèmes de compétion associés. On montre en particulier des théorèmesde forme asymptotique et de grandes déviations pour la percolation de premierpassage sur l'amas de percolation Bernoulli et l'on étudie des problèmesde coexistence/non-coexistence entre des espèces qui se propagent de manière analogue à ce qui se passe en percolation de premier passage