Chapitre 12. Approximation par triangulation

Dans ce chapitre, nous traitons de l'approximation des surfaces discrètes par des maillages. Cette transformation ne sera pas forcément réversible. La relaxation de cette contrainte offre en effet plus de flexibilité. Nous aborderons plusieurs problématiques : * Volumique vers surfacique. Les surfaces discrètes ne sont pas toujours exploitables directement, et la transformation de l'image 3D directement en une représentation surfacique (un maillage) est parfois souhaitable, notamment pour le rendu ou l'extraction quantitative de caractéristiques. Nous verrons une technique d'extraction de surfaces d'intérêt directement à partir d'une image 3D, binaire ou non. * Surface discrète vers surface triangulée. Il est parfois commode de passer d'une représentation par surface discrète à une représentation par surface triangulée. Nous présenterons deux techniques complémentaires~: la dualité surface discrète et isosurface pour construire une surface triangulée approchant la surface discrète (approximation réversible), une technique non réversible d'approximation de surface discrète sous forme d'une surface triangulée, qui est basée sur de la triangulation de points caractérisques par amincissement homotopique. * Simplification et remaillage de surfaces. Un maillage possède parfois trop d'éléments pour être affiché ou traité sur une machine possédant des ressources limitées (mémoire, vitesse). La simplification du maillage résout ce problème en réduisant son nombre d'éléments tout en conservant au mieux les caractérisques géométriques initiales. Plusieurs critères peuvent être pris en compte lors de la simplification : type des éléments crées (triangles, quadrangles, polygones), qualité de l'approximation (distance de Hausdorff), qualité des éléments générés (rapport d'aspect, régularité de la triangulation). D'autre part, l'efficacité de certaines applications est parfois dépendante de la qualité du maillage (régularité de l'échantillonnage, facteur de forme des éléments). En particulier, la précision des applications de simulation par éléments finis est directement dépendante du facteur de forme des éléments du maillage. Dans ce cas, remailler un modèle permet de rester fidèle à la forme initiale de l'objet, tout en améliorant les résultats d'une éventuelle simulation numérique