Etude de la dynamique non-linéaire des écoulements chauffés et soumis à des champs magnétiques

The growth of thermal convection out of different perturbations of the conductive base state is investigated using a spectral element time-stepping code. The fluid is subject to a vertical heat transfer in a cylindrical cavity with an upper free surface corresponding to the so-called Rayleigh-Bénard-Marangoni situation and the heat exchange through the free surface is evaluated via the Biot number. The results of the stability diagrams show that the evolution of the primary thresholds are largely influenced by the Biot number, the Marangoni number, and the aspect ratio of the cavity. Flow transitions are elucidated in quantitative detail as a function of the Rayleigh number for different Biot numbers in the tension free limit Ma = 0. The results shown are obtained by solving the full nonlinear field equations numerically among a continuation method. When an axisymmetric m = 0 Fourier mode is obtained at onset, the non-linear evolution shows the coexistence of different convective structures, the axisymmetric structures with up-ow or down-ow at the center and mixed-mode structures which appear on secondary subcritical branches. The action of a constant magnetic field is then considered for melts in the same type of configuration with an upper free surface. We show the global stabilizing effect of the magnetic field on the primary bifurcation thresholds and the selective effect on the different instability modes. We also analyze the evolution of the convective structures above the thresholds and show how the magnetic field modifies the transitions between these structures. When applying a magnetic body forcing in the azimuthal direction (RMF), one can damp the unavoidable thermal fluctuations inside the melt and delay the transition to the Rayleigh-Bénard instability (for rigid-rigid circular plates at top and bottom). The rotation effect also changes the transitions from steady to oscillatory, except for the m = 0 Fourier mode where the transitionis first steady until a critical Taylor number and then becomes oscillatory. The dynamics of the transitions to the axisymmetric flow, below and above this value of critical magnetic Taylor number, is particularly interesting and will be described.Nous présentons dans cette étude le développement de la convection à partir de différentes perturbations de l'état conductif d'une couche fluide confinée dans une cavité cylindrique, chauffée par le bas et avec une surface supérieure libre. La discrétisation spatiale du domaine repose sur la méthode des éléments spectraux et les itérations temporelles sont assurées par une méthode splitting.Au déclenchement de la convection, les structures convectives correspondent à des modes de Fourier, et les seuils critiques dépendent du rapport de forme de la cavité, et des nombres de Biotet de Marangoni qui caractérisent la surface libre. Les transitions d'écoulements au-delà du seuil primaire sont caractérisées quantitativement en fonction du nombre de Rayleigh pour différentes valeurs du nombre de Biot et Ma = 0. Les résultats présentés sont obtenus en résolvant l'ensemble des équations non-linéaires de conservation à travers une méthode de continuation. Lorsque la convection se déclenche sous la forme d'un mode axisymétrique m = 0, l'évolution non-linéaire montre la coexistence de différentes structures convectives, des structures axisymétriques avec écoulement montant ou descendant au centre de la cavité et des structures correspondant à des combinaisons de modes qui apparaissent sur des branches secondaires sous-critiques.L'action d'un champ magnétique constant est ensuite étudiée pour des fluides conducteurs dans une même configuration comprenant une surface supérieure libre. Nous montrons l'effet stabilisateur du champ magnétique sur les seuils primaires ainsi que son action sélective sur les différents modes de convection. Nous analysons l'évolution des structures convectives au delà de ces seuils et montrons comment le champ magnétique modifie les transitions entre ces structures.En soumettant le bain fondu à un champ magnétique tournant, le mouvement de rotation du fluide se superpose aux mouvements de convection thermique et on observe une diminution des fluctuations de température et un retard du déclenchement de l'instabilité de Rayleigh-Bénard(lorsque les deux parois haut/bas du bain sont rigides). La rotation influe sur ce déclenchement qui de stationnaire devient oscillatoire, à l'exception du mode m = 0 de Fourier, pour qui la transition reste stationnaire jusqu'à une certaine valeur critique du nombre de Taylor magnétique.La dynamique de l'écoulement axisymétrique de part et d'autre de cette valeur critique sera étudiée en détail