Des avancées dans la réduction de modèle de type PGD pour les EDPs d’ordre élevé, le traitement des géométries complexes et la résolution des équations de Navier-Stokes instationnaires

The main purpose of this work is to describe a simulation method for the use of aPGD-based Model reduction Method (MOR) for solving high order partial differentialequations. First, the PGD method is used for solving fourth order PDEs and thealgorithm is illustrated on a lid-driven cavity problem. Transformations of coordinatesfor changing the complex physical domain into the simple computational domain arealso studied, which lead to extend the spatial PGD method to complex geometrydomains. Some numerical examples for different kinds of domain are treated toillustrate the potentialities of this methodology.Finally, a PGD-based space-time separation is introduced to solve the unsteadyStokes or Navier-Stokes equations. This decomposition makes use of common tem-poral modes for both velocity and pressure, which lead to velocity spatial modessatisfying individually the incompressibility condition. The adaptation and imple-mentation of a PGD approach into a general purpose finite volume framework isdescribed and illustrated on several analytic and academic flow examples. A largereduction of the computational cost is observed on most of the treated examples.L’objectif principal de ce travail est de proposer une nouvelle approche de simulationbasée sur une Méthode de réduction du modèle (MOR) utilisant une décompositionPGD. Dans ce travail, cette approche est d’abord utilisée pour résoudre des équationsaux dérivées partielles d’ordre élevé avec un exemple numérique pour les équations auxdérivées partielles du quatrième ordre sur le problème de la cavité entraînée. Ensuiteun changement de coordonnées pour transformer le domaine physique complexe enun domaine de calcul simple est étudié, ce qui conduit à étendre la méthode PGDau traitement de certaines géométries complexes. Divers exemples numériques pourdifférents types de domaines géométriques sont ainsi traités avec l’approche PGD.Enfin, une séparation espace-temps est proposée pour résoudre les équations deNavier-Stokes instationnaires à l’aide d’une approche PGD. Cette décompositionest basée sur le choix de modes temporels communs pour la vitesse et la pression,ce qui conduit à une décomposition basée sur des modes spatiaux satisfaisant in-dividuellement la condition d’incompressibilité. L’adaptation d’une formulationvolumes finis à cette décomposition PGD est présentée et validée sur de premiersexemples analytiques ou académiques pour les équations de Stokes ou Navier-Stokesinstationnaires. Une importante réduction des temps calculs est observée sur lespremiers exemples traités