Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations and iterated minmax

In this thesis, we study the solutions of Hamilton-Jacobi equations. We will compare the viscosity solution and the minmax solution, with the latter defined by a geometric method. In the literature, there are well-known cases where these two solutions coincide: if the Hamiltonian is convex or concave with respect to the momentum variable, the minmax can be reduced to min or max. The minmax and viscosity solutions are different in general. We will construct "iterated minmax" by iterating the minmax step by step and prove that, as the size of steps go to zero, the iterated minmax converge to the viscosity solution. In particular, we study the equations of conservation laws in dimension one, where, by the "front tracking" method, we shall see that in the case where the initial function is convex, the viscosity solution and the minmax are equal. And as an application, we use the limiting iterated process to describe the singularities of the viscosity solution. In the end, we show that the notion of minmax is not so obvious.Dans cette thèse, nous étudions les solutions des équations Hamilton-Jacobi. Plus précisément, nous comparons la solution de viscosité, obtenue comme limite de solutions de l'équation perturbée par un petit terme de diffusion, et la solution minmax, définie géométriquement à partir d'une fonction génératrice quadratique à l'infini. Dans la littéra-ture, il y a des cas bien connus où les deux coïncident, par exemple lorsque le hamiltonien est convexe ou concave, le minmax pouvant alors être réduit à un min ou un max. Mais les solutions minmax et de viscosité diffèrent en général. Nous construisons des "minmax itérés" en répétant pas à pas la procédure de minmax et démontrons que, quand la taille du pas tend vers zéro, les minmax itérés tendent vers la solution de viscosité. Dans une deuxième partie, nous étudions les lois de conservation en dimension un d'espace par le méthode de "front tracking". Nous montrons que dans le cas où la donnée initiale est convexe, la solution de viscosité et le minmax sont égaux. Et comme application, nous décrivons sur des exemples la manière dont sont construites les singularités de la solution de viscosité. Pour finir, nous montrons que la notion de minmax n'est pas aussi évidente qu'il y paraît.PARIS7-Bibliothèque centrale (751132105) / SudocPARIS-BIUSJ-Mathématiques rech (751052111) / SudocSudocFranceF