Outils robustes pour l’approximation de Chebyshev pondérée et applications à la synthèse de filtres numériques

The field of signal processing methods and applications frequentlyrelies on powerful results from numerical approximation. One suchexample, at the core of this thesis, is the use of Chebyshev approximationmethods for designing digital filters.In practice, the finite nature of numerical representations adds an extralayer of difficulty to the design problems we wish to address using digitalfilters (audio and image processing being two domains which rely heavilyon filtering operations). Most of the current mainstream tools for thisjob are neither optimized, nor do they provide certificates of correctness.We wish to change this, with some of the groundwork being laid by thepresent work.The first part of the thesis deals with the study and development ofRemez/Parks-McClellan-type methods for solving weighted polynomialapproximation problems in floating-point arithmetic. They are veryscalable and numerically accurate in addressing finite impulse response(FIR) design problems. However, in embedded and power hungry settings,the format of the filter coefficients uses a small number of bits andother methods are needed. We propose a (quasi-)optimal approach basedon the LLL algorithm which is more tractable than exact approaches.We then proceed to integrate these aforementioned tools in a softwarestack for FIR filter synthesis on FPGA targets. The results obtainedare both resource consumption efficient and possess guaranteed accuracyproperties. In the end, we present an ongoing study on Remez-type algorithmsfor rational approximation problems (which can be used for infinite impulseresponse (IIR) filter design) and the difficulties hindering their robustness.De nombreuses méthodes de traitement du signal reposent sur des résultats puissants d'approximation numérique. Un exemple significatif en est l'utilisation de l'approximation de type Chebyshev pour l'élaboration de filtres numériques.En pratique, le caractère fini des formats numériques utilisés en machine entraîne des difficultés supplémentaires pour la conception de filtres numériques (le traitement audio et le traitement d'images sont deux domaines qui utilisent beaucoup le filtrage). La majorité des outils actuels de conception de filtres ne sont pas optimisés et ne certifient pas non plus la correction de leurs résultats. Notre travail se veut un premier pas vers un changement de cette situation.La première partie de la thèse traite de l'étude et du développement de méthodes relevant de la famille Remez/Parks-McClellan pour la résolution de problèmes d'approximation polynomiale de type Chebyshev, en utilisant l'arithmétique virgule-flottante.Ces approches sont très robustes, tant du point de vue du passage à l'échelle que de la qualité numérique, pour l'élaboration de filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF).Cela dit, dans le cas des systèmes embarqués par exemple, le format des coefficients du filtre qu'on utilise en pratique est beaucoup plus petit que les formats virgule flottante standard et d'autres approches deviennent nécessaires.Nous proposons une méthode (quasi-)optimale pour traîter ce cas. Elle s'appuie sur l'algorithme LLL et permet de traiter des problèmes de taille bien supérieure à ceux que peuvent traiter les approches exactes. Le résultat est ensuite utilisé dans une couche logicielle qui permet la synthèse de filtres RIF pour des circuits de type FPGA.Les résultats que nous obtenons en sortie sont efficaces en termes de consommation d'énergie et précis. Nous terminons en présentant une étude en cours sur les algorithmes de type Remez pour l'approximation rationnelle. Ce type d'approches peut être utilisé pour construire des filtres à réponse impulsionnelle infinie (RII) par exemple. Nous examinons les difficultés qui limitent leur utilisation en pratique