Calculs numériques et calculs relationnels dans la résolution de problèmes d’arithmétique

International audienceRecherche effectuée à partir des observations de Vergnaud et Durand, à propos des problèmes additifs (cf. « Structures additives et Complexité Psychogénétique », Revue Française de Pédagogie n°36, 1976) au travers d’un recueil de réponses écrites d’élèves faisant usage de notations algébriques. J’ai éprouvé les hypothèses de ces chercheurs à l’analyse détaillée de procédures de résolution des élèves, classification et caractérisation des représentations sous-jacentes, examen des raisonnements que l’on pouvait inférer des réponses des élèves en termes de calculs relationnels. Puis j’ai cherché à construire un modèle synthétique de ces raisonnements de manière à opérer un retour sur la comparaison des énoncés. La clé de voûte de cette construction réside dans la distinction nombre/opérateur que je fais fonctionner à divers plans : celui du calcul numérique et des représentations que s’en fait le sujet, celui du calcul relationnel sur les énoncés pour gérer les rapports état/transformation ou encore transformation/bilan. C’est ici que s’effectue l’arithmétisation dans la résolution de ces problèmes. Mathématiquement, l’analyse dessine quelques traits sur le passage de N à Z, ainsi que sur l’usage de notations algébriques dans la présentation de la résolution ou des calculs numériques : rôle d’un modèle intermédiaire entre N et Z, que j’ai appelé registre des gains et registre des pertes ; intervention du concept d’opérateur numérique dans ces représentations. A ceci se rattachent un certain nombre d’observations sur le contenu des réponses : nombre/libellé. Des glissements de sens ont pu être repérés (assimilation d’une structure de problème à une autre) et leur fonction de facilitation ou d’impasse élucidée dans les dives types d’énoncés étudiés. On peut dès lors définir en chaque cas, pour un niveau de traitement donné, ce qui fait problème