Quantification d'espaces de modules et de connexions

We construct new flat quantum connections on vector bundles over moduli spaces of Riemann surfaces and their wild generalisations, using two different approaches. Firstly, we use deformation quantisation to construct new flat connections from irregular isomonodromy Hamiltonians, in the spirit of Reshetikhin's derivation of the Knizhnik-Zamolodchikov connection from the Schlesinger Hamiltonians. Secondly, we construct a complex version of the Hitchin connection for the geometric quantisation of the Hitchin moduli space over a surface of genus one, with respect to the group SL(2,C) and to Kähler polarisations, complementing Witten's real polarisation approach. Finally, we use the Bargmann transform to derive a formula for the connection of Hitchin-Witten on the vector bundle of holomorphic sections, and to turn Hitchin's action into a transform on the Segal--Bargmann space, which relies on coherent states.On construit de nouvelles connexions quantiques intégrables dans fibrés vectoriels au-dessus d'espaces de modules de surfaces de Riemann et de leurs généralisations sauvages, en utilisant deux approches différentes. Premièrement, on utilise la quantification par déformation pour construire de nouvelles connexions intégrables à partir d'Hamiltoniennes d'isomonodromie irrégulières, dans l'esprit de Reshetikhin de la dérivation de la connexion de Knizhnik-Zamolodchikov à partir des Hamiltoniennes de Schlesinger. Deuxièmement, on construit une version complexe de la connexion de Hitchin pour la quantification géométrique de l'espace de modules de Hitchin sur une surface de genre un, par rapport au groupe SL(2,C) et à des polarisations Kähleriennes, en complémentant l'approche par polarisations réelles de Witten. Finalement, on utilise la transformée de Bargmann pour dériver une formule pour la connexion de Hitchin-Witten dans le fibré vectoriel des sections holomorphes, et pour transformer l'action de Hitchin en une transformée sur l'espace de Segal--Bargmann, basée sur les états cohérents