Approximation adaptative de fonctions en grande dimension avec des réseaux des tenseurs basés sur des arbres pour la quantification d'incertitudes

Les problèmes de quantification d'incertitudes des modèles numériques nécessitent de nombreuses simulations, souvent très coûteuses (en temps de calcul et/ou en mémoire). C'est pourquoi il est essentiel de construire des modèles approchés qui sont moins coûteux à évaluer. En pratique, si la réponse d'un modèle numérique est représentée par une fonction, on cherche à en construire une approximation.L'objectif de cette thèse est de construire l'approximation d'une fonction qui soit contrôlée tout en utilisant le moins d'évaluations possible de la fonction.Dans un premier temps, nous proposons une nouvelle méthode basée sur les moindres carrés pondérés pour construire l'approximation d'une fonction dans un espace vectoriel. Nous prouvons que la projection vérifie une propriété de stabilité numérique presque sûrement et une propriété de quasi-optimalité en espérance. En pratique on observe que la taille de l'échantillon est plus proche de la dimension de l'espace d'approximation que pour les autres techniques de moindres carrés pondérées existantes.Pour l'approximation en grande dimension et afin d’exploiter de potentielles structures de faible dimension, nous considérons dans cette thèse des approximations dans des formats de tenseurs basés sur des arbres. Ces formats admettent une paramétrisation multilinéaire avec des paramètres formant un réseau de tenseurs de faible ordre et sont ainsi également appelés réseaux de tenseurs basés sur des arbres. Dans cette thèse, nous proposons un algorithme pour construire l'approximation de fonctions dans des formats de tenseurs basés sur des arbres. Il consiste à construire une hiérarchie de sous-espaces imbriqués associés aux différents niveaux de l'arbre. La construction de ces espaces s'appuie sur l'analyse en composantes principales étendue aux fonctions multivariées et sur l'utilisation de la nouvelle méthode des moindres carrés pondérés. Afin de réduire le nombre d'évaluations nécessaires pour construire l'approximation avec une certaine précision, nous proposons des stratégies adaptatives pour le contrôle de l'erreur de discrétisation, la sélection de l'arbre, le contrôle des rangs et l'estimation des composantes principales.Uncertainty quantification problems for numerical models require a lot of simulations, often very computationally costly (in time and/or memory). This is why it is essential to build surrogate models that are cheaper to evaluate. In practice, the output of a numerical model is represented by a function, then the objective is to construct an approximation.The aim of this thesis is to construct a controlled approximation of a function while using as few evaluations as possible.In a first time, we propose a new method based on weighted least-squares to construct the approximation of a function onto a linear approximation space. We prove that the projection verifies a numerical stability property almost surely and a quasi-optimality property in expectation. In practice we observe that the sample size is closer to the dimension of the approximation space than with existing weighted least-squares methods.For high-dimensional approximation, and in order to exploit potential low-rank structures of functions, we consider the model class of functions in tree-based tensor formats. These formats admit a multilinear parametrization with parameters forming a tree network of low-order tensors and are therefore also called tree tensor networks. In this thesis we propose an algorithm for approximating functions in tree-based tensor formats. It consists in constructing a hierarchy of nested subspaces associated to the different levels of the tree. The construction of these subspaces relies on principal component analysis extended to multivariate functions and the new weighted least-squares method. To reduce the number of evaluations necessary to build the approximation with a certain precision, we propose adaptive strategies for the control of the discretization error, the tree selection, the control of the ranks and the estimation of the principal components