Mathematical foundations of elliptic curve cryptography

Elliptic Curve Cryptography (ECC) wurde 1985 als Alternative zu herkömmlichen asymmetrischen kryptographischen Verfahren (RSA, Diffie-Hellman) vorgeschlagen. Inzwischen ist sie weit verbreitet. In der Diplomarbeit werden die Grundlagen für die Verwendung und Kryptoanalyse von ECC untersucht. Nach eine kurzen Einführung in die algebraische Geometrie wird die allgemeine Theorie die elliptischen Kurven behandelt und danach elliptisch Kurven über den komplexen Zahlen sowie endlichen und lokalen Körpern. Außerdem werden "division polynomials" und modulare Polynome elliptischen Kurven eingeführt. Die letzten Abschnitte behandeln algorithmische Probleme (point counting:Schoofs und Satohs Algorithmen) sowie das Problem des diskreten Logarithmus auf elliptischen Kurven (MOV und Frey-Rück, anomale Kurven und "Weil descent"). Auch werden Ergebnisse über den Zusammenhang mit "elliptic divisibility sequences gebracht".Elliptic Curve Cryptography (ECC) was invented in 1985 as an alternative to classical asymmetric cryptography schemes (like RSA and Diffie-Hellman). Nowadays it is widely used. In this diploma theses the foundations for the usage and cryptanalysis of ECC are examined. After a short introduction to algebraic geometry, the general theory of elliptic curves is discussed. Elliptic curves over the complex numbers and finite and local fields are analyzed. Further, division polynomials and modular polynomials are introduced.The last chapters discuss algorithmic problems (point counting: Schoof's and Satoh's algorithms) as well as the elliptic curve discrete logarithm problem (MOV and Frey-Rück; anomalous curves and Weil descent). Also results about the connection with elliptic divisibility sequences are given.10