Méthodes numériques alignées pour problèmes elliptiques anisotropes en domaines bornés pour simulations du plasma de bord

Highly anisotropic elliptic problems occur in many physical models that need to be solved numerically. In the problems investigated in this thesis, a direction of dominant diffusion exists (called here parallel direction), along which the diffusivity is several orders of magnitude larger than in the perpendicular direction. In this case, standard finite-difference methods are generally not designed to provide an optimal discretization and may lead to the perpendicular diffusion being artificially supplemented by a potentially large contribution stemming from errors in approximating parallel diffusion. This thesis focuses on three main axes to suitably solve anisotropic elliptic equations: an aligned, conservative finite-difference scheme to discretize the Laplacian operator, a reformulated Helmholtz equation to avoid spurious numerical diffusion, and a solver based on multigrid methods as a preconditioner of GMRES routine. Although the scope of this thesis is the application on plasma edge physics, results are relevant to any highly anisotropic model flow in bounded domains. In Chapter 1, a short introduction to magnetically confined fusion is presented identifying the numerical problems raised by solving fluid equations, in particular in the Scrape-Off Layer region. The numerical problem which is dealt with is an anisotropic elliptic problem where diffusivity is 5 to 8 orders of magnitude larger in the parallel direction. This large parallel diffusivity results in long wavelengths in the parallel direction, a central characteristic to the understanding of methods discussed in this thesis. In Chapter 2, a bibliographic introduction to numerical methods dedicated to the solution of anisotropic elliptic equations is presented, with a focus on finite-difference methods. Aligned methods, and their potential to compute solutions with accuracy comparable to standard methods with much lower number of mesh points, are presented. In Chapter 3 we propose an original aligned discretization scheme using non-aligned Cartesian grids. Based on the Support Operator Method, the self-adjointness of the parallel diffusion operator is maintained at the discrete level. Compared with existing methods, the present formulation further guarantees the conservativity of the fluxes in both parallel and perpendicular directions. For bounded domains, a discretization of boundary conditions is presented ensuring comparable accuracy of the solution. Numerical tests based on manufactured solutions show that the method provides accurate and stable numerical approximations in both periodic and bounded domains with a drastically reduced number of degrees of freedom with respect to non-aligned approaches. A reformulation of the Helmholtz equation is presented in Chapter 4 to limit spurious numerical diffusion. The method is based on splitting of the original problem into two distinct problems for the aligned and the non-aligned parts of the solution. These two contributions are separated by filtering methods which are evaluated. Tests cases showthis reformulation eliminates spurious perpendicular diffusion, with larger impact on accuracy with higher parallel diffusivities.Finally, with the aim of solving elliptic anisotropic equations for large systems efficiently, a geometric multigrid algorithm is proposed in Chapter 5 in bounded domains. The algorithm scales adequately with the number of degrees of freedom, and shows a clear advantage upon standard iterative methods when the parallel diffusivity is very large. This algorithm is later posed as preconditioner of a GMRES solver, finding computationally efficient algorithm compared with direct solvers solving elliptic equations under any boundary conditions.The thesis is concluded by a critical analysis of the numerical aspects of aligned discretizations investigated. Special attention is given to the application of the investigated schemes in 3D plasma turbulence codes, such as the TOKAM3X developed by CEA.Les problèmes elliptiques hautement anisotropes se présentent dans de nombreux modèles physiques qui doivent être résolus numériquement. Une direction de diffusion dominante est alors introduite (appelée ici direction parallèle) le long de laquelle le coefficient de diffusion est plusieurs ordres de grandeur plus grand que dans la direction perpendiculaire. Dans ce cas, les méthodes aux différences finies standard ne sont pas conçues pour fournir une discrétisation optimale et peuvent conduire à une diffusion perpendiculaire artificielle potentiellement importante, résultant d’erreurs de discrétisation dans l’approximation de la diffusion parallèle.Cette thèse se concentre sur trois axes principaux pour résoudre les équations elliptiques anisotropes de manière appropriée : un schéma aligné et conservatif de différences finies pour discrétiser l’opérateur Laplacien, une reformulation de l’équation de Helmholtz pour réduire la diffusion numérique, et un solveur basé sur les méthodes multi-grille comme préconditionneur d’un solveur GMRES. Les deux premiers chapitres sont consacrés à la présentation du cadre de cette thèse.Au chapitre 1, une brève introduction à la fusion par confinement magnétique est présentée, identifiant les problèmes numériques soulevés par la résolution des équations fluides, en particulier dans la région proche au bord (Scrape-Off-Layer). Le problème numérique que nous allons traiter est essentiellement un problème elliptique anisotrope où la diffusion est de 5 à 8 ordres de grandeur plus grande dans la direction parallèle que dans la direction perpendiculaire.Dans le chapitre 2, une introduction bibliographique aux méthodes numériques résolvant les équations elliptiques anisotropes est présentée, avec un accent sur les méthodes aux différences finies.Dans le chapitre 3, un schéma de discrétisation aligné est proposé en utilisant des grilles cartésiennes non alignées. Selon la méthode Support Operator Method (SOM), la propriété que l’opérateur de diffusion parallèle est auto-adjoint est maintenue au niveau discret. Par rapport aux méthodes existantes, la formulation actuelle garantit la conservation des flux dans les directions parallèles et perpendiculaires. De plus, dans les domaines bornés, une discrétisation des conditions aux limites est présentée afin d’assurer une précision comparable de la solution. Des tests numériques basés sur des solutions manufacturées montrent que la méthode est capable de fournir des approximations numériques précises et stables dans des domaines périodiques ou bornés avec un nombre considérablement réduit de degrés de liberté par rapport aux autres approches non alignées.Une reformulation de l’équation de Helmholtz est présentée au chapitre 4 pour limiter la diffusion numérique liée à la discrétisation du Laplacien pour les valeurs élevées de diffusion parallèle. La méthode est basée sur la séparation de la solution en une partie alignée et non alignée, par rapport à l’opérateur de diffusion parallèle, grâce à des méthodes de filtrage. Les cas de tests montrent que cette reformulation de l’équation de Helmholtz élimine la diffusion perpendiculaire numérique, avec une efficacité d’autant plus accrue que les valeurs de diffusivité parallèle sont élevées. Afin de résoudre efficacement les équations anisotropes elliptiques pour les grands systèmes d’équations, un solveur itératif basé sur des algorithmes multi-grilles géométriques est proposé au chapitre 5. Cet algorithme est plus tard posé comme préconditionneur d’un solveur GMRES, exhibant une réduction drastique du temps et de la mémoire requise par rapport à des solveurs directs résolvant les équations Helmholtz et Poisson, et ce pour différents types de conditions aux limites. La thèse est conclue par une analyse critique des aspects numériques des discrétisations alignées étudiées. Une attention particulière est accordée à l’application des méthodes étudiées dans les codes de turbulence plasma 3