Cartes de grand genre : de la hiérarchie KP aux limites probabilistes

This thesis focuses on combinatorial maps, which are defined as embeddings of graphs on surfaces, or equivalently as gluing of polygons. The genus g of the map is defined as the number of handles of the surface on which it is embedded.In addition to being combinatorial objects, the maps can be represented as factorizations of permutations, which also makes them algebraic objects, which one can study in particular thanks to the representation theory of the symmetric group. In particular, these algebraic properties of maps mean that their generating series satisfies the KP hierarchy (and its generalization, the 2-Toda hierarchy). The KP hierarchy is an infinite set of partial differential equations in an infinity of variables. The partial differential equations of the KP hierarchy are then translated into recurrence formulas which make it possible to enumerate maps of any genus.On the other hand, it is interesting to study the geometric properties of maps, and in particular very large random maps. Many works have focused on the geometrical properties of planar maps, ie of genus 0. In this thesis, we study maps of large genus, that is to say whose genus tends towards infinity at the same time as the size of the map. What will particularly interest us is the notion of local limit, which describes the law of the neighborhood of a particular point (the root) of large uniform random maps.The first part of this thesis (Chapters 1 to 3) is an introduction to all the necessary concepts: maps, of course, but also the KP hierarchy and local limits. In a second part (Chapters 4 and 5), we will seek to deepen the relationship between maps and KP hierarchy, either by explaining existing formulas by combinatorial constructions, or by discovering new formulas. The third part (Chapters 6 and 7) focuses on the study of the local limits of large maps, using in particular the results obtained from the KP hier-archy. Finally the manuscript ends with some open problems (Chapter 8).Cette thèse s’intéresse aux cartes combinatoires, qui sont définies comme des plongements de graphes sur des surfaces, ou de manière équivalente comme des recollements de polygones. Le genre g de la carte est défini comme le nombre d’anses que possède la surface sur laquelle elle est plongée.En plus d’être des objets combinatoires, les cartes peuvent être représentées comme des factorisations de permutations, ce qui en fait également des objets algébriques, qu’on peut notamment étudier grâce à la théorie des représentations du groupe symétrique. En particulier, ces propriétés algébriques des cartes font que leur série génératrice satisfait la hiérarchie KP (et sa généralisation, la hiérarchie 2-Toda). La hiérarchie KP est un ensemble infini d’équations aux dérivées partielles en une infinité de variables. Les équations aux dérivées partielles de la hiérarchie KP se traduisent ensuite en formules de récurence qui permettent d’énumérer les cartes en tout genre.D’autre part, il est intéressant d’étudier les propriétés géométriques des cartes, et en particulier des très grandes cartes aléatoires. De nombreux travaux ont permis d’étudier les propriétés géométriques des cartes planaires, c’est à dire de genre 0. Dans cette thèse, on étudie les cartes de grand genre, c’est à dire dont le genre tend vers l’infini en même temps que la taille de la carte. Ce qui nous intéressera particulièrement est la notion de limite locale, qui décrit la loi du voisinage d’un point particulier (la racine) des grandes cartes aléatoires uniformes.La première partie de cette thèse (Chapitres 1 à 3) est une introduction à toutes les notions nécessaires : les cartes, bien entendu, mais également la hiérarchie KP et les limites locales. Dans un deuxième temps (Chapitres 4 et 5), on cherchera à approfondir la relation entre cartes et hiérarchie KP, soit en expliquant des formules existantes par des constructions combinatoires, soit en découvrant de nouvelles formules. La troisième partie (Chapitres 6 et 7) se concentre sur l’étude des limites locales des cartes de grand genre, en s’aidant notamment de résultats obtenus grâce à la hiérarchie KP. Enfin le manuscrit se conclut par quelques problèmes ouverts (Chapitre 8)