Commuting families of Ritt operators and sectorial operators : H-infinity joint functional calculus, dilations and associated square functions.

Ce travail de recherche est consacréau H∞ calcul fonctionnel joint ded-uplets commutants d’opérateurs sectoriels ou opérateurs de Ritt. La première partie donne les outils nécessaires, notamment les moyennes de Rademacher et gaussiennes ainsi que la notion d’opérateurs R-bornés et γ-bornés. On d´écrit ensuite lespropriétés géométriques des espaces de Banach qui interviennent dans les résultatsobtenus. Ensuite, on étend une décomposition de fonctions holomorphes, originellement due à Franks et McIntosh, au cas des fonctions de plusieurs variables. Les premiers résultats traitent du caractère automatique du calcul joint dans le sens suivant : sichaque élément du d-uplets admet un H∞ calcul fonctionnel, sous quelles conditions ced-uplets admet-il un H∞ calcul fonctionnel joint ? On donne après des caractèrisationsen terme de dilatation de d-uplets sur des espaces de Bochner, sous certaines conditionsgéométriques sur l’espace de Banach sous-jacent. Le cas des espaces de Hilbert donnelieux `a d’autres caractérisations en terme de similarités à des contractions. Les autresrésultats traitent du H∞ calcul fonctionnel joint relié aux fonctions carré associées `ade tels d-uplets. Enfin, on propose des résultats de dilations nouveaux qui ne font pasdirectement appels au H∞ calcul fonctionnel de chaque opérateurs mais aux fonctionscarr´e ou au H∞ calcul fonctionnel joint du d-uplet.This research work is dedicated to the H∞ joint functional calculus ofd-tuples of commuting sectorial operators or Ritt operators. The first part of this workgives the necessary tools, particularly the Rademacher averages and Gaussian averagesand the notions of R-boundedness and γ-boundedness. We describe next the geometricproperties of Banach spaces which intervene in our results. Next, we extend a decomposition result of holomorphic functions, due to Franks and McIntosh, to the casof multivariated functions. The first results deals with the automaticity of the jointcalculus in the following sense : if any elements of the d-tuple admits an H∞ functional calculus, when does the d-tuple admits an H∞ joint functional calculus? Wegive in the sequel some characterisations in terms of dilation of d-tuples on Bochnerspace provided certain geometric conditions on the underlying Banach space. The caseof Hilbert spaces lead to other characterisations in term of similarity to contractions.The other results deals with H∞ joint functional calculus related to square functionsassociated to such d-tuples. Finally, we offer new dilation results which does not appealto H∞ functional calculus of each of the operators but to square functions or H∞ jointfunctional calculus of the d-tuple