P-adic cohomologies of Rapoport-Zink spaces

Ce travail porte sur la géométrie et la cohomologie des revêtements de l’espace symétrique de Drinfeld. On sait que la partie supercuspidale de la cohomologie étale l-adique de ces espaces fournit des réalisations géométriques des correspondances de Langlands et de Jacquet-Langlands locales (Drinfeld, Carayol, Harris-Taylor, Boyer, Dat, …). En s'inspirant des méthodes de la thèse de Wang, nous prouvons les mêmes correspondances en cohomologie de De Rham (en oubliant l’action du groupe de Weil) pour le premier revêtement. Cela nécessite la généralisation d'un théorème de Grosse-Klönne sur la cohomologie de De Rham des espaces analytiques admettant un modèle semi-stable. Nous aurons aussi besoin d’une description plus fine du niveau 0. En particulier, nous calculons les sections inversibles de l’espace symétrique. Nous allons plus loin et calculons aussi toute la cohomologie analytique du groupe multiplicatif (nous le faisons en fait dans le cadre plus général des arrangements d’hyperplan) montrant ainsi l’annulation de son groupe de Picard. On en déduit alors une équation pour le premier revêtement essentielle pour le calcul de la cohomologie de De Rham.This thesis studies the geometry and the cohomology of the Drinfeld symmetric space and its coverings. It has been shown that the supercuspidal part of the l-adic cohomology of this spaces provides a geometric realization of the local Langlands and the Jacquet-Langlands correspondence. Following the methods in the thesis of Wang Hoaran, we establish the same correspondances for the De Rham cohomology (forgetting the action of the Weil group) for the first covering. For that matter, we need to generalize a result of Grosse-Klönne on the De Rham cohomology of analytic spaces admitting a semi-stable model.We also need some informations on the level 0. In particular, we compute the invertible functions on the Drinfeld space. Indeed, we have stronger result where we compute the whole analytic cohomology on the sheaf of invertible function (all these calculations are done in the more general context of hyperplan arrangement). This allow us to give an explicit equation for the first covering essential for the computation of De Rham cohomology