МІНІМІЗАЦІЯ СУМАРНОГО ЗВАЖЕНОГО ЗАПІЗНЕННЯ ЗАВДАНЬ ІЗ СПІЛЬНИМ ДИРЕКТИВНИМ СТРОКОМ НА ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРИЛАДАХ ДЛЯ ВИПАДКУ УЗГОДЖЕНИХ ВАГ І ТРИВАЛОСТЕЙ

We consider tasks scheduling problem on identical parallel machines by the criterion of minimizing the total weighted tardiness of tasks. All tasks arrive for processing at the same time. Weights and processing times are agreeable, that is, a greater weight of a task corresponds to a shorter processing time. In addition, we have arbitrary start times of machines for tasks processing. The times may be less or greater than the due date or to coincide with it. The problem in this formulation is addressed for the first time. It can be used to provide planning and decision making in systems with a network representation of technological processes and limited resources. We give efficient PSC-algorithm with complexity that includes the poly­nomial component and the approximation algorithm based on permutations of tasks. The polynomial component contains sufficient signs of optimality of the obtained solutions and allows to obtain an exact solution by polynomial subalgorithm. In the case when the sufficient signs of opti­mality do not fulfill, we obtain approximate solution with an estimate of de­viation from the optimum for each individual problem instance of any prac­tical dimension. We show that a schedule obtained as a result of the problem solving can be split into two schedules: the schedule on machines which start time is less than or equal to the due date, and the schedule on machines which start after the due date. Optimization is only done in the first sched­ule. The second schedule is optimal by construction. Statistical studies of the PSC-algorithm showed its high efficiency. We solved problems with dimensions up to 40,000 tasks and up to 30 ma­chines. The average time to solve the problem by the algorithm using the most efficient types of permutations was 27.3 ms for this dimension. The average frequency of an optimal solution obtaining amounted to 90.3 %. The average deviation from an optimum was no more than 0.000251.Рассматривается задача составления расписаний выполнения заданий на идентичных параллельных приборах по критерию минимиза­ции суммарного взвешенного опоздания заданий. Все задания поступают на обслуживание одновременно. Веса и длительности согласо­ваны, то есть заданию с меньшей длительностью соответствует больший вес. Дополнительно, заданы произвольные моменты начала работы приборов на выполнение заданий, которые могут быть как меньше директивного срока, так и больше, либо совпадать с ним. В такой поста­новке задача решается впервые. Она может использоваться для обеспечения планирования и принятия решений в системах с сетевым пред­ставлением технологических процессов и ограниченными ресурсами. Приведен эффективный ПДС-алгоритм ее решения с трудоемкостью , включающий полиномиальную составляющую с достаточными признаками оптимальности получаемых решений, которая позволяет получать точное решение полиномиальным подалгоритмом. В случае невыполнения достаточных признаков оптимальности мы получаем приближенное решение с оценкой отклонения полу­ченного решения от оптимального для каждой индивидуальной задачи любой практической размерности. Показано, что расписание, полученное в результате решения задачи, можно условно разбить на два расписания – расписание на приборах, момент начала работы которых меньше или равен директивного срока, и расписание на прибо­рах, начинающих работу после директивного срока. Оптимизация выполняется только в первом расписании. Второе расписание оптимально по построению. Статистические исследования ПДС-алгоритма показали его высокую эффективность. Решались задачи с размерностью до 40 000 заданий с числом приборов до 30. Среднее время ре­шения задачи алгоритмом, использующим наиболее эффективные типы перестановок, составило 27,3 мс при этой размер­ности. Средняя частота получения оптимального решения составила до 90,3 %. Среднее отклонение от оптимума – не более 0,000251.Розглядається задача складання розкладів виконання завдань на ідентичних паралельних приладах за критерієм мінімізації сумарного зваженого запізнення завдань. Всі завдання надходять на обслуговування одночасно. Ваги і тривалості узгоджені, тобто завданню з меншою тривалістю відповідає більша вага. Додатково, задані довільні моменти початку роботи приладів на виконання завдань, які можуть бути як менше директивного строку, так і більше, або співпадати з ним. У такій постановці задача розв’язується вперше. Вона може використовува­тися для забезпечення планування та прийняття рішень в системах з мережним представленням технологічних процесів та обмеженими ресурсами. Наведено ефективний ПДС-алгоритм її розв’язання із трудомісткістю , який включає поліноміальну складову з достат­німи ознаками оптимальності одержуваних розв’язків, яка дозволяє отримувати точний розв’язок поліноміальним підалгоритмом. У разі невиконання достатніх ознак оптимальності ми отримуємо наближений розв’язок з оцінкою відхилення отриманого розв’язку від опти­мального для кожної індивідуальної задачі будь-якої практичної розмірності. Показано, що розклад, отриманий в результаті розв’язання задачі, можна умовно розбити на два розклади – розклад на приладах, момент початку роботи яких менше або дорівнює дирек­тивному строку, та розклад на приладах, що починають роботу після директивного строку. Оптимізація виконується тільки у першому роз­кладі. Другий розклад оптимальний за побудовою. Ста­тистичні дослідження ПДС-алгоритму показали його високу ефективність. Розв’язувались задачі з розмірністю до 40 000 завдань з числом приладів до 30. Середній час розв’язання задачі алгоритмом, що використовує найбільш ефективні типи перестановок, склав 27,3 мс при цій розмірності. Середня частота отримання оптимального розв’язку склала до 90,3 %. Середнє відхилення від оптимуму – не більш, ніж 0,000251