Una introducció a les matemàtiques de l'activitat neuronal

En aquest article es vol donar al lector una primera aproximació del paper de les matemàtiques en les neurociències, amb unes quantes pinzellades dels models més clàssics i mostrant algunes aplicacions recents. Es comença presentant la biofísica que acompanya els models més coneguts de l'activitat d'una sola neurona, generalment a partir d'equacions diferencials, i s'assenyalen les principals propietats fisiològiques des d'un punt de vista dinàmic. Es posa èmfasi en els models basats en conductàncies, però també s'esmenten els usos de models més simplificats com els anomenats integrate & fire o el de Morris-Lecar, i l'existència de models amb difusió com ara l'equació del cable. La modelització de col·lectius de neurones, d'alt requeriment computacional, es veu plasmada en aquest article en la descripció d'un parell de models de còrtex visual. Per acabar, i com a exemple d'ús d'altres eines matemàtiques diferents de les equacions diferencials, també es presenta una breu descripció de l'estimació de camps receptius visuals mitjançant la minimització de certs funcionals.In this paper, we want to provide the reader a first approximation of the rˆole of mathematics in neuroscience, with a quick overview of the most classical models and showing recent applications. We start presenting the biophysics of the most known models of activity of a single neuron, generally using differential equations, pointing out the implications of the main physiological properties on the dynamics. While we emphasize on conductance-based models, we mention as well the usefulness of more simplified models like the “integrate & fire” or Morris-Lecar, and the existence of diffusion models like the cable equation. The modeling of populations of neurons, highly demanding computationally speaking, is illustrated in this paper through the description of two models of primary visual cortex. The last part of the paper is devoted, as an example of the use of mathematical tools different from differential equations, to a short description of visual receptive fields by means of minimizing certain functionals