Vitesse de convergence des approximations diffusion

In many fields of interest, Markov processes are a primary modelisation tool for random processes. Unfortunately it is often necessary to use very large or even infinite dimension state spaces, making the exact analysis of the various characteristics of interest (stability, stationary law, hitting times of certain domains, etc.) of the process difficult or even impossible . For quite a time, thanks in particular to martingale theory, it has been possible to make use of approximations by brownian diffusions. This enables an approximate analysis of the initial problem. The main drawback of this approach is that it does not measure the error made in this approximation. The purpose is to dévelop a theory of error calculation for diffusion approximations .For some time, the developement of the Stein-Malliavin method has enabled to get some precision over speed of convergence in classical theorems such as the Donsker theorem (functionnal convergence of a random walk towards the Brownian motion) or in the generalisation of the Binomial Poisson approximation path by path. In this work we intend to extend the development of this theory for Markovian processes such as those than can be found in queueing theory, in epidemiology or in other fields of application. Starting from the representation of Markov processes as Poisson measures, we extend the method developped by Laurent Decreusefond and Laure Coutin to assess the speed of convergence in diffusion approximations . To do so, we extend the Stein-Malliavin method to vectors of processes rather than a single process. The limit is a gaussian process changed in time. The Stein Malliavin method being mainly developped to calculate convergence towards the standard Brownian motion, it is adapted to the problem of convergence towards a time changend process using linear approximation methods. We therefore make use of Gaussian analysis to assess the dependency between the various time periods and to functionnal analysis to elect the right probabilistic spaces.Dans de nombreux champs d'applications, les processus de Markov sont un outil privilégié de modélisation de processus aléatoires. Malheureusement, il est souvent nécessaire d'avoir recours à des espaces d'états très grands voire infinis, rendant l'analyse exacte des différentes caractéristiques (stabilité, loi stationnaire, temps d'atteinte de certains domaines, etc.) du processus délicates ou impossibles. Depuis longtemps, grâce notamment à la théorie des martingales, on procède à des approximations par des diffusions browniennes. Celles-ci permettent souvent une analyse approchée du modèle d'origine. Le principal défaut de cette approche est que l'on ne connaît pas l'erreur commise dans cette approximation. Il s'agit donc ici de développer une théorie du calcul d'erreur dans les approximations diffusion.Depuis quelques temps, le développement de la méthode de Stein-Malliavin a permis de préciser les vitesses de convergence dans les théorèmes classiques comme le théorème de Donsker (convergence fonctionnelle d'une marche aléatoire vers un mouvement brownien) ou la généralisation trajectorielle de l'approximation binomiale-Poisson. Il s'agit dans ce travail de poursuivre le développement de cette théorie pour des processus de Markov comme ceux que l'on rencontre en théorie des files d'attente ou en épidémiologie et dans bien d'autres domaines appliqués. Partant de la représentation des processus de Markov comme mesures de Poisson, on étend la méthode développée par Laurent Decreusefond et Laure Coutin pour estimer la vitesse de convergence dans les approximations diffusion. Pour ce faire, on étend la méthode de Stein-Malliavin à des vecteurs de processus dépendants plutôt qu'à un seul processus. La limite est un processus gaussien changé de temps. La méthode de Stein Malliavin étant développée surtout pour montrer la convergence vers le mouvement Brownien standard, on l’adapte à la convergence vers un processus changé de temps à travers des méthodes d’approximations linéaires. On fait donc appel à l'analyse gaussienne pour caractériser les dépendances entre intervalles de temps et à l'analyse fonctionnelle pour déterminer les bons espaces probabilisés