La conjetura de Quillen a través del anillo de Burnside

“A finales del siglo XIX, William Burnside sentó las bases de lo que actualmente se conoce como anillo de Burnside. Fue hasta 1967 cuando Louis Solomon, en “The Burnside algebra of a finite group” [Sol67], le dio estructura de anillo. El anillo de Burnside B(G) para un grupo finito G es uno de los anillos de representación fundamentales de G. Es, en muchos sentidos, el objeto universal a considerar cuando se estudia la categoría de G–conjuntos finitos y puede verse como el análogo del anillo de los enteros Z para esta categoría. El anillo de Burnside, además, es el objeto fundamental para estudiar los invariantes aso- ciados a G–conjuntos con estructura, tales como los G–copos o, más generalmente, los G–conjuntos simpliciales. Estos invariantes son generalizaciones para la categoría de los G–conjuntos de nociones clásicas, tales como la función de Möbius para un copo. Tiene propiedades de proyectividad, lo que lleva a congruencias en los valores de la característica de Euler–Poincaré de algunos conjuntos de subgrupos de G.