Hvězdové hranové barvení čtvercových sítí

Hvězdové hranové barvení grafu G je přípustné hranové obarvení bez bichromatických cest a kružnic délek 4. Nejmenší přirozené číslo k takové, že pro graf G existuje hvězdové hranové obarvení pomocí k barev, se nazývá hvězdový chromatický index grafu G. V úvodním článku na toto téma se Dvořák, Mohar a Šámal ptali, zda-li je hvězdový chromatický index úplných grafů lineární vůči řádu grafu a dokázali téměř lineární horní mez. Jejich otázka zůstala otevřena; pro lepší pochopení chování hvězdového chromatického indexu byl tento parametr zkoumán i pro řadu dalších tříd grafů. V tomto článku uvažujeme hvězdové hranové barvení čtvercových sítí, konkrétně kartézského součinu kružnic a cest, a rovněž kart. součinu dvou kružnic. Vylepšujeme dříve dosažené meze a, jako hlavní výsledek, dokazujeme, že hvězdový chromatický index v obou zmíněných třídách je 6 nebo 7 s výjimkou prisem. Navíc, pro mnoho uvažovaných grafů stanovujeme přesné hodnoty tohoto parametru.A star edge-coloring of a graph G is a proper edge-coloring without bichromatic paths and cycles of length four. The smallest integer k such that G admits a star edge-coloring with k colors is the star chromatic index of G. In the seminal paper on the topic, Dvořák, Mohar, and Šámal asked if the star chromatic index of complete graphs is linear in the number of vertices and gave an almost linear upper bound. Their question remains open, and consequently, to better understand the behavior of the star chromatic index, that parameter has been studied for a number of other classes of graphs. In this paper, we consider star edge-colorings of square grids; namely, the Cartesian products of paths and cycles and the Cartesian products of two cycles. We improve previously established bounds and, as a main contribution, we prove that the star chromatic index of graphs in both classes is either 6 or 7 except for prisms. Additionally, we give a number of exact values for many considered graphs