Efficient computation of sommerfeld integrals in case of electrically large structures in half-space problems

U ovom radu predstavljena je nova metoda za efikasno raˇcunanje Zomerfeldovih integrala, koji su rezultat dekomponovanja Grinove funkcije potencijala na sumu elementarnih ravnih talasa. Ovakva integralna predstava Grinove funkcije znaˇcajna je za reˇsavanje veoma vaˇzne klase elektromagnetskih problema – analiza izvora zraˇcenja u okolini razdvojne povrˇsi dve linearne sredine. Iako istraˇzivanje ovog problema traje viˇse od jednog veka, danaˇsnji industrijski i tehnoloˇski napredak postavlja nove izazove u numeriˇckoj elektromagnetskoj analizi problema, naroˇcito sa aspekta taˇcnosti i efikasnosti u koriˇs´cenju raˇcunarskih resursa. Cilj ovog rada jeste razvijanje jednostavne metode za raˇcunanje komponenti Grinove funkcije potencijala, polaze´ci od njihovog egzaktnog integralnog oblika i usvajaju´ci realnu putanju integracije. Zomerfeldov integral koji odgovara skalarnoj Grinovoj funkciji u slobodnom prostoru koriˇs´cen je kao referentni rezultat, s obzirom na njegovo poznato analitiˇcko reˇsenje. Singularitet, u vidu taˇcke grananja, poniˇsten je primenom korene smene promenljivih, a domen integracije je podeljen na tri karakteristiˇcna poddomena. Kvalitativna i kvantitativna analiza podintegralne funkcije, kao i analiza egzaktno izraˇcunate relativne greˇske omogu´cavaju razvoj empirijskih formula za procenu potrebnog broja integracionih taˇcaka za postizanje ˇzeljene taˇcnosti integracije. U sluˇcaju dve sredine, posebno su razmatrani materijali sa malim gubicima, ˇcije prisustvo unosi dodatne taˇcke grananja u blizini putanje integracije. Uticaj ovog kompleksnog singulariteta potisnut je primenom korene smene u kompleksnom domenu, uz odgovaraju´cu parametrizaciju. Aproksimativnom putanjom integracije u domenu nove promenljive, kao i adaptivnim skra´civanjem intervala integracije dodatno je ubrzana konvergencija. Pomenute tehnike takode su testirane u kombinaciji sa ekstrakcijom pola podintegralne funkcije u sluˇcaju metamaterijala sa negativnom permitivnoˇs´cu. Na osnovu sliˇcnosti jezgra integrala za slobodan prostor i onih za rasejani i transmitovani potencijal, primenljivost predikcioinih formula je jednostavnim modifikacijama proˇsirena na scenario sa dve linearne sredine. Predloˇzena metoda je verifikovana numeriˇckim primerima na ˇsirokom opsegu koordinata rastojanja izmedu izvora polja i taˇcke posmatranja, kao i poredenjem sa drugim metodama.This work presents a novel method for efficient computation of Sommerfeld integrals that result from plane-wave decomposition of Green’s function for potential. Such integral form of Green’s function is essential for consideration of an important class of problems in electromagnetics – analysis of radiation source that lies close to the boundary of two linear media. Although this problem has been studied for over a century, today’s industrial and technological advancement imposes new demands in its numerical electromagnetic analysis, particularly in terms of accuracy and efficient usage of computer resources. The aim of this work is development of a simple method for computation of the components of Green’s function for potential, starting from their exact integral form and adopting a real integration path. The Sommerfeld integral that is associated with the scalar Green’s function in free space i used as a reference, due to availability of its closed-form solution. The branch-point singularity is canceled by means of a square-root change of variables and the integration domain is divided into three distinguished subdomains. The qualitative and quantitative analysis of the integrand, as well as the analysis of the exact relative error enable derivation of empirical formulas that estimate the required number of integration points in order to achieve desired accuracy. In the treatment of the half-space problem, particular attention is dedicated to low-loss media, the presence of which involves additional branch points in the vicinity of the integration path. The impact of this complex singularity is suppressed by means of change of variables in complex domain, followed by appropriate parameterization. With the aid of approximate integration path in the domain of the new variable and with adaptive truncation of the integration interval, additional acceleration of convergence is achieved. The procedure is also tested along with pole-extraction technique in the case of a metamaterial with negative permittivity. The presented method is verified through numerical examples for a wide range of sourceobservation point distances, as well as by comparison to other methods