Estudo numérico do grau de hiperbolicidade e aprisionamento dinâmico em sistemas hamiltonianos de baixa dimensão

Orientador: Prof. Dr. Marcus Werner BeimsTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Física. Defesa : Curitiba, 29/10/2020Inclui referências: p. 123-130Resumo: O tema principal desenvolvido nesta tese é o estudo das propriedades dinâmicas das regiões caóticas de sistemas Hamiltonianos. Focamos em dois objetivos: (i) quantificar o grau de hiperbolicidade de regiões específicas do espaço de fase e (ii) caracterizar o efeito de aprisionamento dinâmico. A principal característica das regiões hiperbólicas caóticas é a estabilidade global da dinâmica, coexistindo com a instabilidade das órbitas individuais. Para sistemas Hamiltonianos, isto implica em dinâmicas extremamente complicadas. Aqui, propomos medidas explícitas de hiperbolicidade semi local, aplicáveis a regiões específicas do espaço de fase e das janelas de tempo. O fato das medidas dependerem da região no espaço de fase e tempo, nos permite diferenciar comportamentos dinâmicos entre regiões específicas e em diferentes escalas de tempo. Os resultados numéricos mostram que regiões caóticas em torno de ilhas de regulares são localmente menos hiperbólicas do que regiões próximas a pontos hiperbólicos periódicos, além disso, as medidas são sensíveis às características dos pontos periódicos hiperbólicos e das ilhas regulares. As medições são baseadas nas relações de expansão/contração dos subespaços de Oseledec e nos ângulos locais e médios entre esses subespaços. A invariância temporal dos subespaços de Oseledec fornece observáveis para uma teoria de tempo finito, por exemplo, eles definem formalmente expoentes de Lyapunov a tempo finito (FTLEs, das siglas em inglês). As medidas foram definidas de forma geral, aplicáveis a sistemas Hamiltonianos de dimensão finita, e o estudo numérico foi realizado para o mapa padrão. No caso de aprisionamento dinâmico, mostramos que funções apropriadas dos FTLEs e dos ângulos entre subespaços podem caracterizar o efeito de aprisionamento dinâmico. Essas distribuições são estudadas em função de janelas de tempo, o que permitiu descrever o comportamento das distribuições, sendo estas multimodais. As modas são associados a regiões específicas do espaço de fase, isto é, uma mesma moda pode ser associado a uma camada caótica ou curvas assintóticas instáveis no espaço de fase. Mostramos isso estudando em paralelo a geometria das estruturas dessas quantidades no espaço de fase. O estudo numérico do aprisionamento dinâmico foi realizado no mapa padrão (sistema a tempo discreto) e no sistema Hénon Heiles (sistema a tempo contínuo). Ambos os casos apresentam comportamentos similares nas distribuições. Finalmente, estudamos a distribuição dos ângulos entre os subespaços Oseledec em diferentes regimes de movimento. Esses regimes são definidos a partir dos FTLEs em trajetórias caóticas. Os resultados mostram desvios de hiperbolicidade entre esses regimes. Palavras-chave: Hiperbolicidade, medidas, aprisionamento dinâmico, expoentes de Lya punov a tempo finito, subespaços de Oseledec.Abstract: The main subjects developed in this thesis are the dynamical properties of chaotic regions in Hamiltonian systems. We focused on two objectives: (i) quantifying the degree of hyperbolicity of specific regions of the phase space and (ii) the characterization of sticky motion. The main characteristic of the chaotic hyperbolic regions is the global stability of the dynamics, coexisting with the instability of the individual orbits. For Hamiltonian systems, this implies an extremely complicated dynamics. Here, we propose explicit measures of semi-local hyperbolicity, applicable to specific regions of the phase space and time windows. The fact that the measures depend on the region in the phase space and time, allows us to differentiate the dynamical behaviors between specific regions and at different time scales. Numerical results show that chaotic regions around regular islands are locally less hyperbolic than regions close to periodic hyperbolic points, in addition, the measures are sensitive to the characteristics of the hyperbolic periodic points and the regular islands. The measurements are based on the expansion/contraction ratios of the Oseledec subspaces and on the local and average angles between them. The temporal invariance of the Oseledec subspaces provide observables for a finite time theory, for example, they formally define finite time Lyapunov exponents (FTLEs). The measures were defined in general, applied to Hamiltonian systems of finite dimension, and the numerical study was carried out for the standard map. In the case of stickiness, we show that appropriate functions of FTLEs and angles between subspaces can characterize the phenomenon of stickiness. These distributions are studied as a function of a time windows. This allowed us to describe the behavior of the distributions, as being multimodal. Modes are associated with specific regions of the phase space, but a mode can be associated with one or more specific regions of the phase space. We show this by studying in parallel the geometry of the structures of these quantities in the phase space. The numerical study of stickiness was performed on the standard map (discrete system) and the Hénon-Heiles system (continuous system). Both cases show similar behavior in the distributions. Finally, we studied the distribution of the angles between Oseledec subspaces in different regimes. These regimes are defined based on FTLEs in chaotic trajectories. The results show deviations of hyperbolicity between these regimes. Keywords: Hyperbolicity, measurements, stickiness, finite time Lyapunov exponents, Oseledec's subspaces