Fluide in Gravitationsfeldern - Wohl-Balancierte Modifikationen für Astrophysikalische Finite-Volumen-Codes

Stellar structure can -- in good approximation -- be described as a hydrostatic state, which which arises due to a balance between gravitational force and pressure gradient. Hydrostatic states are static solutions of the full compressible Euler system with gravitational source term, which can be used to model the stellar interior. In order to carry out simulations of dynamical processes occurring in stars, it is vital for the numerical method to accurately maintain the hydrostatic state over a long time period. In this thesis we present different methods to modify astrophysical finite volume codes in order to make them \emph{well-balanced}, preventing them from introducing significant discretization errors close to hydrostatic states. Our well-balanced modifications are constructed so that they can meet the requirements for methods applied in the astrophysical context: They can well-balance arbitrary hydrostatic states with any equation of state that is applied to model thermodynamical relations and they are simple to implement in existing astrophysical finite volume codes. One of our well-balanced modifications follows given solutions exactly and can be applied on any grid geometry. The other methods we introduce, which do no require any a priori knowledge, balance local high order approximations of arbitrary hydrostatic states on a Cartesian grid. All of our modifications allow for high order accuracy of the method. The improved accuracy close to hydrostatic states is verified in various numerical experiments.Die Struktur von Sternen kann in guter Näherung als hydrostatischer Zustandbeschrieben werden, der durch ein Gleichgewicht zwischen Gravitationskraft undDruckgradient gegeben ist. Hydrostatische Zustände sind statische Lösungen dervollständigen komprimierbaren Euler-Gleichungen mit Gravitationsquellenterm, diezur Modellierung des Sterninneren verwendet werden können. Um Simulationendynamischer Prozesse in Sternen durchführen zu können, ist es wichtig, dass dieverwendete numerische Methode den hydrostatischen Zustand über einen langenZeitraum genau aufrechterhalten kann. In dieser Arbeit stellen wir verschiedene Me-thoden vor, um astrophysikalische Finite-Volumen-Codes so zu modifizieren, dasssie diewell-balancing-Eigenschaft erhalten, d.h., dass sie keine signifikanten Diskre-tisierungsfehler nahe hydrostatischer Zustände verursachen. Unsere well-balancing-Modifikationen sind so konstruiert, dass sie die Anforderungen für Methoden er-füllen, die im astrophysikalischen Kontext angewendet werden: Sie können beliebi-ge hydrostatische Zustände mit jeder Zustandsgleichung, die zur Modellierung derthermodynamischen Beziehungen angewendet wird, balancieren und sind einfach invorhandene astrophysikalische Finite-Volumen-Codes zu implementieren. Eine un-serer well-balancing Modifikationen erhält bekannte Lösungen exakt und kann aufjede Gittergeometrie angewendet werden. Die anderen Methoden, für die keine A-priori-Kenntnisse erforderlich sind, balancieren lokale Approximationen beliebigerhydrostatischer Zustände mit hoher Fehlerordnung auf einem kartesischen Gitter.Alle unsere Modifikationen erlauben eine hohe Fehlerordnung der Methode. Dieverbesserte Genauigkeit nahe an hydrostatischen Zuständen wird in verschiedenennumerischen Experimenten verifiziert