As fracções no desenvolvimento do sentido de número racional no 1º Ciclo

Tese de mestrado em Educação (Didáctica da Matemática), apresentada à Universidade de Lisboa através da Faculdade de Ciências, 2007Este estudo tem como objectivo principal compreender aspectos do desenvolvimento do sentido do número racional não inteiro em alunos do 4° ano de escolaridade do 1° Ciclo do Ensino Básico e procurou responder às seguintes questões: (a) quais são os obstáculos das crianças à apropriação do sentido do número racional fraccionário? (b) que estratégias pessoais os alunos privilegiam na resolução de problemas com números racionais? (c) como se processa a passagem das estratégias informais para a representação simbólica dos números racionais, quer sob a forma de fracção, quer na forma decimal? Foi elaborado um conjunto de tarefas cuja fundamentação tem suporte em ideias defendidas pela Matemática Realista (Realistic Mathematics Education - RME) e pelo Projecto do Número Racional (Rational Number Project - RNP). A concepção das tarefas teve em conta a importância, referida pela RME, de trabalhar problemas relacionados com a realidade dos alunos, nomeadamente, numa primeira fase, os problemas que envolvam partilha equitativa e sobre o desenvolvimento de modelos matemáticos que sirvam de suporte ao raciocínio, designadamente, a linha numérica. A integração de tarefas com modelos concretos inspirou-se no trabalho do Rational Number Project segundo o qual as crianças aprendem melhor quando se envolvem, activamente, em tarefas com diversos modelos concretos. A metodologia seguida neste estudo é de natureza, essencialmente, qualitativa e interpretativa e tem por base um estudo de caso. São, ainda, apresentados alguns dados quantitativos que permitiram caracterizar o trabalho dos alunos e identificar as suas dificuldades nas várias fases do trabalho. Dado que o estudo foi realizado na minha turma, também, abarca uma reflexão sobre a minha prática profissional. A recolha de dados foi realizada através de gravações de vídeo, diários de bordo e produções dos alunos. Os dados analisados durante a fase do diagnóstico, identificaram grandes dificuldades ao nível da multiplicação e da divisão, facto que levou à necessidade de começar este estudo por um trabalho prévio sobre o significado destas operações na resolução de problemas para, posteriormente, introduzir a sequência de tarefas destinada a desenvolver o sentido de número racional. Os resultados permitiram constatar que o principal obstáculo à apropriação do sentido do número racional, pelos alunos, deveu-se à interferência do conhecimento sobre números inteiros. Contudo, através da discussão desses equívocos e da elaboração de formas de os esclarecer, alguns alunos rectificaram e ampliaram os seus conhecimentos. Nas primeiras tarefas relacionadas com a partilha equitativa os alunos começaram por construir modelos visuais a partir da realidade (modelos circulares, rectangulares e lineares) aliados a representações sob a forma de fracções directamente ligadas ao concreto descrevendo relações presentes nas situações. Com o desenvolvimento do trabalho os alunos foram deixando de recorrer às representações icónicas para utilizarem linhas numéricas e representações simbólicas sob a forma de fracção e de numeral decimal. Na parte final do trabalho, alguns alunos já utilizavam as linhas numéricas como suportes de raciocínio, facto que lhes permitiu resolver a maior parte dos problemas propostos. Os dados evidenciam que as fracções, apesar do tempo reduzido que os alunos tiveram para trabalhar com estas representações, passaram a ser mais significativas do que as representações sob a forma de numeral decimal, pois quando tiveram que optar por uma das duas representações escolheram as fracções. O desenvolvimento do sentido de número racional é um processo complexo e moroso que implica o estabelecimento de múltiplas conexões entre vários conceitos, por isso requer ser trabalhado durante períodos de tempo ao longo dos vários anos de escolaridade do ensino básico. O tempo limitado do estudo e o número reduzido de tarefas trabalhadas possibilitou, apenas, uma introdução a alguns desses conceitos mas permitiu identificar indícios de mudanças qualitativas ao nível do raciocínio, dos alunos, que lhes permitirão continuar a desenvolver o sentido de número racional, tendo por base o conteúdo conceptual desenvolvido ao longo deste trabalho.The main target of this study is to understand the development aspects concerning students' perception on non-integer rational numbers, in the 4th year of the first stage of basic education. The study aims to answer the following questions: (a) what obstacles do children face in the appropriation of fractional rational numbers perception? (b) which are the personal strategies preferred by students on the resolution of problems with rational numbers? (c) how is the process of transition from the informal strategies to the symbolic representation of rational numbers, both in fractional and decimal form? A set of tasks was created, based on ideas defended by Realistic Mathematics Education (RME) and by the Rational Number Project (RNP), considering the importance, referred by RME, of working the problems related with students reality. Namely, on a first stage, problems that involve fair sharing and about the development of mathematic models that can support reasoning, in particular the number line. The integration of tasks with concrete models was inspired on the Rational Number Project study which states that children learn better when they are directly involved in tasks with several concrete models. The nature of the methodology followed in this study is mainly qualitative and interpretative, and is based on a case study. Some quantitative data is also shown, to characterize the students work and to identify their difficulties in the several stages of the work. Considering the study was developed in my class, it also includes a reflection about my professional practice. The collecting of data was made through video recording, logbooks and student productions. The analysis of data during the diagnostic stage identified serious difficulties concerning multiplication and division, and so determined the need to start this study with a previous work about the meaning of these operations in the resolution of problems, in order to later introduce the sequence of tasks focused on rational number perception development. The results confirmed that the main obstacle to the appropriation of rational number perception by students, was due to the interference of integer numbers knowledge. However, some students corrected and developed their knowledge, through the discussion of those equivocations and elaborating clarifying strategies. In the first tasks related to fair sharing, the students started by constructing visual models based on the reality (circular, rectangular and linear models) together with fraction form representations directly connected to the concrete, for they described the present relations in the situation. As the work evolved, students left the iconical representation and started to use number line and symbolic representations under the form of fraction and decimal numeral. In the last stage of the work, some students could already use number line supporting reasoning, which enabled them to resolve almost all of the proposed problems. Notwithstanding the reduced time available for students to work with these representations, data shows fractions have become more significant than decimal numeral representations, as they chose the first when they had to opt for one of them. The development of rational number perception is a complex process that takes time and also requires the establishment of multiple connections between several concepts. Considering the restricted time of the study and the reduced number of tasks done, it was only possible an introduction to some of those concepts. However, it was possible to identify some signs of qualitative changes on students' reasoning, which will enable them to continue expanding a rational number perception, based on the conceptual content developed over this work