Modélisation de l’entraînement d’air dans l'eau avec la méthode SPH

Flows over hydraulic works – a nappe falling over a spillway, a wave breaking on a dike, etc. – undergo strong mixtures of air and water that lead to the appearance of white waters with complex dynamics. Faithfully capture the phenomenon of air bubbles entrainment/entrapment in the flowing water is therefore pivotal for the design of those works. Both experimental and numerical modeling prove to be complex due to high density ratio between phases and the multiscale nature of those flows involving turbulence and surface tension effects. The SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) method, a fully Lagrangian approach that models the flow as a set of moving particles without any mesh, is particularly well-suited to simulate such highly-distorted flows. Nevertheless, the current computational limits still prevent one from finely simulating industrial application cases with large domains in hydraulics. In this work, we aim at simulating macroscopically those flows with a mixture model in which each SPH particle stands for a moving volume of air and water. The derivation of the continuous equations of this mixture model is first detailed, then a state of the art of multiphase simulations in SPH is presented. Equipped with this continuous model and the existing discretization tools, a two-phase SPH mixture model is then derived and implemented on GPU (Graphics Processing Unit). A focus is made on original elements developed in the discretization, especially the derivation of a scheme with good numerical properties to follow the phase volume variations and the writing of an open boundary framework for mixtures. Turbulence, prominent for the air entrainment phenomenon, is modeled with a k-ϵ model including a buoyancy term. This model is validated against bidimensional academic test cases of increasing complexity, namely an oil-water separation, a two-phase Poiseuille flow, the Rayleigh-Taylor instability and a sand dumping case, proving its versatility. The air entrainment phenomenology is then described and the model is applied to common structures in hydraulics such as plunging jets and stepped spillways by introducing a specific closure for the relative velocity between phases. Finally, first industrial application cases with complex geometries and dynamics are presentedLes écoulements au sein d'ouvrages hydrauliques – déversement au-dessus d'un barrage, déferlement d'une vague sur une digue, etc. – sont le siège de forts mélanges d'eau et d'air qui se traduisent visuellement par la formation d'eaux blanches à la dynamique complexe. Représenter fidèlement le phénomène d'entraînement/capture des bulles d'air dans l'eau revêt donc un aspect stratégique important pour le dimensionnement de ces ouvrages. La modélisation tant physique que numérique de tels cas s'avère délicate à cause du fort rapport de densité entre les phases et de la nature multi-échelle de ces écoulements impliquant des effets de turbulence et de tension de surface. La méthode numérique SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), approche totalement lagrangienne qui représente l'écoulement comme un ensemble de particules en mouvement sans recours à un maillage, est particulièrement adaptée à la simulation de tels écoulements fortement déformés. Néanmoins, les limites actuelles de puissance de calcul empêchent encore de simuler finement des cas d'application industriels à large emprise en hydraulique. On se propose donc dans cette thèse de modéliser ces écoulements de manière macroscopique via un modèle de mélange qui consiste à voir chaque particule SPH comme un volume de mélange d'eau et d'air en mouvement. On détaille d'abord la dérivation des équations continues de ce modèle de mélange, puis on présente un état de l'art des simulations multiphasiques SPH. A partir du modèle continu et des outils actuels de discrétisation, un modèle de mélange diphasique SPH est ensuite mis en place en vue de son implémentation sur GPU (Graphics Processing Unit). Un accent tout particulier est mis sur les éléments originaux de discrétisation développés, notamment la dérivation d'un schéma aux bonnes propriétés numériques pour le suivi de l'évolution des volumes par phase et l'écriture d'un formalisme de frontières ouvertes pour un mélange. La turbulence, centrale dans le phénomène d'entraînement d’air, est modélisée via un modèle k-ϵ incluant un terme de flottabilité. Ce modèle de mélange est validé sur des cas académiques bidimensionnels de complexité croissante tels que la séparation d'un mélange eau-huile, un écoulement de Poiseuille diphasique, l'instabilité de Rayleigh–Taylor et un lâché de sédiments, illustrant sa polyvalence. La phénoménologie de l'entraînement d'air est ensuite décrite, et le modèle appliqué à des structures communément rencontrées en hydraulique, comme des jets plongeants et des coursiers en marches d'escalier, en introduisant une fermeture spécifique de la vitesse relative entre les phases. Enfin, on présente des premiers cas d'application industriels aux géométries et dynamiques complexe