Estimations d’erreur a posteriori pour des inégalités variationnelles : application à un écoulement diphasique en milieu poreux

In this thesis, we consider variational inequalities in the form of partial differential equations with complementarity constraints. We construct a posteriori error estimates for discretizations using the finite element method and the finite volume method, for inexact linearizations employing any semismooth Newton solver and any iterative linear algebraic solver. First, we consider the model problem of contact between two membranes, next we consider its extension into a parabolic variational inequality, and to finish we treat a two-phase compositional flow with phase transition as an industrial application. In the first chapter, we consider the stationnary problem of contact between two membranes. This problem belongs to the wide range of variational inequalities of the first kind. Our discretization is based on the finite element method with polynomials of order p ≥ 1, and we propose two discrete equivalent formulations: the first one as a variational inequality, and the second one as a saddle-point-type problem. We employ the Clarke differential so as to treat the nondifferentiable nonlinearities. It enables us to use semismooth Newton algorithms. Next, any iterative linear algebraic solver is used for the linear system stemming from the discretization. Employing the methodology of equilibrated flux reconstructions in the space H(div,Ω), we get an upper bound on the total error in the energy norm H01(Ω). This bound is fully computable at each semismooth Newton step and at each linear algebraic step. Our estimation distinguishes in particular the three components of the error, namely the discretization error (finite elements), the linearization error (semismooth Newton method), and the algebraic error (GMRES algorithm). We then formulate adaptive stopping criteria for our solvers to ultimately reduce the number of iterations. We also prove, in the inexact semismooth context, the local efficiency property of our estimators, up to a contact term that appears negligeable in numerics. Our numerical experiments illustrate the accuracy of our estimates and the reduction of the number of necessary iterations. They also show the performance of our adaptive inexacte semismooth Newton method. In the second chapter, we are interested in deriving a posteriori error estimates for a parabolic variational inequality and we consider the extension of the model of the first chapter to the unsteady case. We discretize our model using the finite element method of order p ≥ 1 in space and the backward Euler scheme in time. To treat the nonlinearities, we use again semismooth Newton algorithms, and we also employ an iterative algebraic solver for the linear system stemming from the discretization. Using the methodology of equilibrated flux reconstructions in the space H(div,Ω), we obtain, when p=1 and at convergence of the semismooth solver and the algebraic solver, an upper bound for the total error in the energy norm L²(0,T; H01(Ω)). Furthermore, we estimate in this case the time derivative error in a norm close to the energy norm L^2(0,T;H^{-1}(Ω)). In the case p ≥ 1, we present an a posteriori error estimate valid at each semismooth Newton step and at each linear algebraic step in the norm L²(0,T;H01(Ω)). We distinguish in this case the components of the total error, namely the discretization error, the linearization error, and the algebraic error. In particular, it enables us to devise adaptive stopping criteria for our solvers which reduces the number of iterations. In the third chapter, [...]Dans cette thèse, nous considérons des inégalités variationnelles qui s'interprètent comme des équations aux dérivées partielles avec contraintes de complémentarité. Nous construisons des estimateurs d'erreur a posteriori pour des discrétisations utilisant la méthode des éléments finis et volumes finis, et des linéarisations inexactes faisant appel aux méthodes de Newton semi-lisse et à des solveurs algébriques quelconques. Nous considérons tout d'abord un problème modèle de contact entre deux membranes, puis une inégalité variationnelle parabolique et enfin un écoulement diphasique compositionnel avec changement de phases comme application industrielle. Dans le premier chapitre, nous considérons un problème stationnaire de contact entre deux membranes. Ce problème s'inscrit dans la large gamme des inégalités variationnelles de première espèce. Nous discrétisons notre modèle par la méthode des éléments finis conformes d'ordre p ≥ 1 et nous proposons deux formulations discrètes équivalentes~: la première sous la forme d'une inégalité variationnelle et la seconde sous la forme d'un problème de type point-selle. Nous introduisons la différentiabilité au sens de Clarke pour traiter les non linéarités non différentiables. Cela permet d'utiliser des algorithmes de linéarisation de type Newton semi-lisse. Ensuite, un solveur itératif algébrique quelconque est utilisé pour le système linéaire obtenu. En utilisant la méthodologie de la reconstruction des flux équilibrés dans l'espace H(div,Ω), nous obtenons une borne supérieure de l'erreur totale dans la semi-norme d'énergie sur l'espace H01(Ω). Cette borne est entièrement calculable à chaque pas du solveur de linéarisation semi-lisse et à chaque pas du solveur d'algèbre linéaire. Notre estimation d'erreur distingue en particulier les trois composantes de l'erreur, à savoir l'erreur de discrétisation (éléments finis), l'erreur de linéarisation (algorithme de Newton semi-lisse) et l'erreur d'algèbre linéaire (algorithme GMRES). Nous formulons ensuite des critères d'arrêts adaptatifs pour chaque solveur utilisé dans le but de réduire le nombre d'itérations. Nous prouvons également l'efficacité locale de nos estimateurs dans le contexte semi-lisse inexact modulo un terme de contact qui s'avère négligeable. Nos essais numériques illustrent la précision de nos estimations et le gain en terme de nombre d'itérations et témoignent de la performance de notre méthode adaptative semi-lisse inexacte. Dans le second chapitre, nous nous intéressons à construire des estimations d'erreur a posteriori pour une inégalité variationnelle parabolique comme extension du premier chapitre au cas instationnaire. Nous discrétisons notre modèle en utilisant la méthode des éléments finis conformes d'ordre p ≥ 1 en espace et le schéma d'Euler rétrograde en temps. Pour traiter les non linéarités, nous utilisons à nouveau des algorithmes de linéarisation de type Newton semi-lisse et nous employons également un solveur itératif algébrique quelconque pour le système linéaire obtenu. En utilisant la méthodologie de la reconstruction des flux équilibrés dans l'espace H(div,Ω), nous obtenons, quand p=1, et à convergence du solveur de linéarisation semi-lisse et d'algèbre linéaire, une borne supérieure de l'erreur totale dans la norme d'énergie sur l'espace L²(0,T;H01(Ω)). De plus, nous estimons dans ce cas du mieux possible l'erreur en dérivée temporelle dans la norme d'énergie L²(0,T;H^{-1}(Ω)). Dans le cas p ≥ 1, et à un pas quelconque des solveurs linéaires et non linéaires, nous présentons une estimation d'erreur a posteriori dans la norme d'énergie L²(0,T;H01(Ω))). Nous distinguons dans ce cas les composantes de l'erreur totale, à savoir l'erreur de discrétisation, l'erreur de linéarisation et l'erreur d'algèbre linéaire. Cela permet en particulier de formuler des critères d'arrêts adaptatifs dans le but de réduire le nombre d'itérations. Dans le troisième chapitre, [...