Régularité de l'application du transport optimal sur des variétés riemanniennes compactes

In this thesis, we are concerned with the regularity of optimal transport maps on compact Riemannian manifolds. In the first chapter, we give some definitions and recall some facts in Riemannian geometry. In the second chapter, we examine the variation of the curvature on the geodesics. In the third chapter, we study the MTW tensor on compact Riemannian manifold. We show that an improved MTW condition is satisfied on nearly spherical manifold. The proof goes by a careful analysis combined with the perturbative arguments on the spheres. In the fourth chapter, we study the inverse of the Hessian matrix of the squared distance. In the fifth chapter, we prove the smoothness of the optimal transport maps on two classes of compact Riemannian manifold-nearly spherical manifolds and Riemannian products of nearly spherical manifolds. In the last chapter, we provide some perspectives about the optimal transportation in the literature.Dans cette thèse on s'intéressons à la régularité de l'application du transport optimal sur des variétés riemanniennes compactes. Dans le premier chapitre, on rappelle certaines définitions sur une variété riemannienne. Dans le deuxième chapitre, on décrit la variation de la courbure sur des géodésiques. Dans le troisième chapitre, on étudie le tenseur de MTW sur une variété riemannienne compacte. On montre qune condition de MTW améliorée est satisfaite sur une variété presque sphérique. La preuve consiste à une analyse minutieuse, combinée avec les arguments de perturbation sur des sphères. Dans le quatrième chapitre, on étudie le comportement de l'inverse de la matrice Hessienne de la distance au carré. Dans le cinquième chapitre, on prouve la régularité du transport optimale sur deux classes des variétés riemanniennes compactes- des variétés presque sphériques et des produits riemanniens des variétés presque sphériques. Dans le dernier chapitre, on déscrit quelques perspectives sur le transport optimal dans la littérature