Propriétés des hypersurfaces centroaffines et équaffines

The subject of this thesis is in the domain of differential geometry. In this field one studies hypersurfaces M of the (n+1)-dimension vector space. This study can be seen as part of the Erlangen program of Felix Klein: “geometry is the study of the properties which remain invariant under the action of a given group of transformations”. The groups of transformations used in this work are:● the group generated by the linear transformations which preserve volume and the translations. One calls the corresponding geometry the equiaffine geometry or Blaschke geometry; ● the group of all linear transformations. One calls the corresponding geometry the centroaffine geometry. This thesis contains as results in both equiaffine geometry and centroaffine geometry. In equiaffine geometry we obtain a classification of surfaces for which R•( ΔS)=0. In centroaffine geometry we are interested in flat Tchebychev hypersurfaces. We obtain a classification of these hypersurfaces in dimension 3. A similar result in dimension 2 was obtained by Wang.Le sujet de cette thèse se situe dans le domaine de la géométrie différentielle affine. Dans ce domaine on étudie des hypersurfaces M de l'espace affine de dimension n+1. Cette étude fait partie du programme d'Erlangen de Félix Klein : « la géométrie est l'étude des propriétés qui restent invariantes sous l'action d'un groupe de transformations donné ». Les groupes de transformations utilisés dans la géométrie différentielle affine sont : ● le groupe engendré par les transformations vectorielles qui préservent le volume et les translations. On appelle la géométrie correspondante la géométrie équiaffine ou la géométrie de Blaschke; ●le groupe de toutes les transformations vectorielles. On appelle la géométrie correspondante la géométrie centroaffine. Cette thèse contient aussi bien des résultats en géométrie équiaffine que des résultats en géométrie centroaffine. En géométrie équiaffine nous obtenons une classification des surfaces pour lesquelles R•( ΔS)=0 . En géométrie centroaffine nous nous intéressons aux hypersurfaces de Tchebychev qui sont plates. Nous obtenons une classification de ces hypersurfaces en dimension 3. Un résultat similaire en dimension 2 a été obtenu par Wang