Quelques contributions aux équations différentielles stochastiques rétrogrades et leurs applications

This thesis is dedicated to the study of backward stochastic differential equations (BSDEs) and their applications. In chapter 1, we study the problem of maximizing the utility from terminal wealth where the stock price may jump and there are investment constraints on the agent 's strategies. We focus on the BSDE whose solution represents the maximal utility, which allows transferring results on quadratic BSDEs, in particular the stability results, to the problem of utility maximisation. In chapter 2, we consider the problem of pricing American options from theoretical and numerical sides based upon an alternative representation of the value of the option in the form of a viscosity solution of a parabolic equation with a nonlinear reaction term. We extend the viscosity solution characterization proved in [Benth, Karlsen and Reikvam 2003] for call/put American option prices to the case of a general payoff function in a multi-dimensional setting. We address two new numerical schemes inspired by the branching processes. Our numerical experiments show that approximating the discontinuous driver of the associated reaction/diffusion PDE by local polynomials is not efficient, while a simple randomization procedure provides very good results. In chapter 3, we prove existence and uniqueness results for a general class of coupled mean-field forward-backward SDEs with jumps under weak monotonicity conditions and without the non-degeneracy assumption on the forward equation and we give an application in the field of storage in smart grids in the case where the production of electricity is unpredictable.Cette thèse est consacrée à l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) et leurs applications. Dans le chapitre 1, on étudie le problème de maximisation de l'utilité de la richesse terminale où le prix de l'actif peut être discontinue sous des contraintes sur les stratégies de l'agent. Nous nous concentrons sur l'EDSR dont la solution représente l'utilité maximale, ce qui permet de transférer des résultats sur les EDSR quadratiques, en particulier les résultats de stabilité, au problème de maximisation d'utilité. Dans le chapitre 2, nous considèrons le problème de valorisation d'options Américaines des points de vue théorique et numérique en s'appuyant sur la représentation du prix de l'option comme solution de viscosité d'une équation parabolique non linéaire. Nous étendons le résultat prouvé dans [Benth, Karlsen and Reikvam 2003] pour un put ou call Américain à un cas plus général dans un cadre multidimensionnel. Nous proposons deux schémas numériques inspirés par les processus de branchement. Nos expériences numériques montrent que l'approximation du générateur discontinu, associé à l'EDP, par des polynômes locaux n'est pas efficace tandis qu'une simple procédure de randomisation donne de très bon résultats. Dans le chapitre 3, nous prouvons des résultats d'existence et d'unicité pour une classe générale d'équations progressives-rétrogrades à champs moyen sous une condition de monotonicité faible et une hypothèse non-dégénérescence sur l'équation progressive et nous donnons une application dans le domaine de stockage d'énergie dans le cas où la production d'électricité est imprévisible