Analyse et approximation des modèles viscoplastique avec la non-linéarité générale des fluides granulaires

This thesis is motivated by a research program between the LAMA (Mathematics, Univ. GustaveEiffel) and the Institut de Physique du Globe of Paris (Earth Sciences) on granular media and theirmathematical description.We consider here a continuous description: the material is described as a fluid with viscoplasticrheology, that allows us to model the transition between static (solid) states and mobile (liquid)states. Incompressible models have been used since the introduction of the so called µ(I) rheology(Jop et al. 2006). However such models do not represent accurately real flows, even in laboratoryexperiments. Recent studies indicate that volume variations, even if not significantly large, play akey role in the dynamics. Therefore compressible models have been recently considered (Barker etal. 2017). Although particular rheologies such as Bingham or Herschel-Bulkley models have beenoften considered in mathematical studies such as Malek et al. 2010, not much can be found ongeneral nonlinearities in terms of the trace and the norm of the strain rate tensor. We considerhere compressible models with general nonlinearities σ ∈ ∂F(D) where σ is the stress, D is thestrain rate and F is a convex viscoplastic potential. Under technical assumptions on F suchas subquadratic growth and superlinearity we prove the existence of solutions to the associatedvariational problem. This is obtained in the viscous as well as in the inviscid cases. We establishEuler-Lagrange characterizations of these solutions. No regularity is assumed on F, thus yieldstress rheologies are included. Numerical methods for viscoplastic laws have been classically used:augmented Lagrangian or regularization methods. However these methods were designed merelyfor Bingham or Herschel-Bulkley fluids, and moreover their cost is still too high for applicationsto real configurations. Here we consider an iterative but explicit method in the sense that thereis no linear system to solve, inherited from the minimizing of total variation functionals used inimaging (Chambolle, Pock 2011). It is applicable to any kind of nonlinearity, and includes a kindof projection on some convex sets. We prove the convergence of the method discretized in spacewith finite elements. Numerical tests confirm the theoretical results.Cette th`ese est motiv´ee par un programme de recherche entre le LAMA (Math´ematiques, Univ.Gustave Eiffel) et l’Institut de Physique du Globe de Paris (Sciences de la terre) sur les milieuxgranulaires et leur description math´ematique.Nous consid´erons ici une description continue: le mat´eriau est d´ecrit comme un fluide avec rh´eologieviscoplastique, qui permet de mod´eliser la transition entre les ´etats statiques (solides) et mobiles(liquides). Des mod`eles incompressibles ont ´et´e utilis´es depuis l’introduction de la rh´eologie µ(I)(Jop et al. 2006). N´eanmoins de tels mod`eles ne repr´esentent pas correctement les ´ecoulementsr´eels, mˆeme dans les exp´eriences de laboratoire. Des ´etudes r´ecentes indiquent que les variationsde volume, mˆeme si elles ne sont pas significativement grandes, jouent un rˆole pr´epond´erant dansla dynamique. Des mod`eles compressibles ont alors ´et´e consid´er´es r´ecemment (Barker et al. 2017).Bien que des rh´eologies particuli`eres telles que Bingham ou Herschel-Bulkley aient ´et´e souventconsid´er´ees dans les ´etudes math´ematiques telles que Malek et al. 2010, peu d’´etudes concernentdes nonlin´earit´es g´en´erales en terme de la trace et de la norme du tenseur de taux de d´eformation.Nous consid´erons ici des mod`eles compressibles avec nonlin´earit´e g´en´erale σ ∈ ∂F(D) o`u σ est letenseur des contraintes, D le taux de d´eformation, et F est un potentiel viscoplastique convexe.Sous des hypoth`eses techniques sur F telles qu’une croissance sous-quadratique et une sur-lin´earit´e,nous prouvons l’existence de solutions au probl`eme variationnel associ´e. Cela est obtenu dans le casvisqueux aussi bien que dans le cas non visqueux. Nous ´etablissons des caract´erisations d’EulerLagrange de ces solutions. Aucune r´egularit´e n’est suppos´ee sur F, et donc les rh´eologies avec seuilde plasticit´e sont incluses. Des m´ethodes num´eriques pour les probl`emes viscoplastiques ont ´et´eclassiquement consid´er´ees: lagrangien augment´e ou r´egularisation. Cependant ces m´ethodes ont ´et´emises au point essentiellement pour les fluides de Bingham ou d’Herschel-Bulkley, et de plus leurcoˆut est encore trop ´elev´e pour les applications aux configurations r´eelles. Ici nous consid´erons unem´ethode it´erative mais explicite, dans le sens o`u il n’y a pas de syst`eme lin´eaire `a r´esoudre, h´erit´eede la minimisation de functionnelles de type variation totale utilis´ee en imagerie (Chambolle, Pock2011). Elle est applicable `a n’importe quelle forme de nonlin´earit´e, et fait intervenir une sorte deprojection sur des ensembles convexes. Nous prouvons la convergence de la m´ethode discr´etis´ee enespace avec des ´el´ements finis. Des tests num´eriques confirment les r´esultats th´eoriques