Homologies legendriennes suturées et applications à la construction conormale

We study Legendrians with boundary, in a contact manifold (V, ξ) with sutured convex boundary, and treat some examples. First we define the cylindrical and wrapped sutured Legendrian homologies of a Legendrian whose boundary is in the suture of ∂V . Moreover those homologies fit into an exact sequence, which conjecturally generalises the exact triangle arising from a Lagrangian filling.The unit conormal construction, applied to a submanifold embedded in a manifold with boundary, is a typical instance of this situation. The main illustration involves braids in a thickened surface : we prove that the conormals of two local pure 2-braids are isotopic (as Legendrians with fixed boundary) if and only if the braids are equivalent. In a second part, we apply the conormal construction to an hyperbolic knot in the 3-sphere, and study the sutured contact manifold obtained by taking the complement of the unit conormal of the knot. We show that the Legendrian contact homology of a fiber in the sutured contact manifold, with its product structure, is a complete invariant of the knot (up to mirror), which can be understood as a sutured version of a recent result.Nous étudions des legendriennes à bord, incluses dans une variété de contact (V, ξ) à bord convexe suturé, et traitons quelques exemples. Tout d’abord on définit l’homologie cylindrique et enroulée d’une legendrienne dont le bord est inclus dans la suture de ∂V . De plus ces homologies s’inscrivent dans un suite exacte, qui généralise conjecturalement le triangle issu d’un remplissage lagrangien.La construction conormale, appliquée à un sous-variété plongée dans une variété à bord, est un exemple typique d’une telle situation. L’illustration principale concerne les tresses dans une surface épaissie : nous prouvons que les conormaux de deux 2-tresses pures et locales sont isotopes (comme legendriennes à bord fixe) si et seulement si les tresses sont équivalentes. Dans un second temps, nous appliquons la construction conormale à un noeud hyperbolique dans la 3-sphère, et étudions la variété de contact suturée obtenue en retirant un voisinage du conormal du nœud. Nous montrons que l’homologie legendrienne d’une fibre dans cette variété de contact suturée, avec sa structure produit, est un invariant complet du nœud, ce qui peut être vu comme une version suturée d’un récent résultat