Investigation of Sturm-Liouville direct and adjoint problems

Šiame darbe apžvelgiami Šturmo ir Liuvilio tiesioginis ir jungtinis uždaviniai su nelokaliosiomis kraštinėmis sąlygomis, ištiriamos jų tikrinės funkcijos ir tikrinės reikšmės. Pirmiausia išnagrinėjama jungtinių operatorių teorija. Aptariamos tiesinės erdvės, tiesiniai operatoriai bei tiesiniai funkcionalai. Suformuluojamas jungtinių operatorių apibrėžimas ir nagrinėjami keli jungtinių operatorių pavyzdžiai. Antroje darbo dalyje analizuojami konkretūs atvejai, atitinkantys antros eilės diferencialinį kraštinį uždavinį. Tiriamas tiesioginis uždavinys, randamos jo tikrinės reikšmės ir funkcijos, nubraižomi tikrinių reikšmių judėjimo trajektorijos spektrai. Toliau nagrinėjamos jungtinio uždavinio su keturiomis kraštinėmis sąlygomis tikrinės funkcijos. Nubraižomi tikrinių funkcijų grafikai prie skirtingų parametro μ atvejų. Tyrimas parodė, kad tiesioginio ir jungtinio uždavinių charakteristinės funkcijos ir tikrinės reikšmės sutampa, o tikrinės funkcijos skiriasi. Jungtinio uždavinio atveju tikrinės funkcijos yra trūkios.In this paper Sturm-Liouville direct and adjoint problems with non-local boundary conditions are presented and the investigation of eigenfunctions and eigenvalues has been carried out. Firstly, theory of adjoint operators is analyzed. Linear spaces, direct operators and linear functionals are considerated. Adjoint operators - definition is formulated and a few examples of adjoint operators are being analyzed. Second part covers particular occasions, which correspond second-order linear differential equation. Direct problem is being investigated, eigenvalues and eigenfunctions are found, spectrums of eigenvalues moving trajectory are drawn. Further eigenfunctions of adjoint operator with four boundary conditions are analyzed. Graphs of the eigenfunctions under particular μ occasions are drawn. The research has shown that characteristic functions and eigenvalues of the direct and adjoint problems are the same, while eigenfunctions differ. In case of adjoint problem eigenfunctions are discontinuous.Vytauto Didžiojo universiteta