Numeerinen muodon optimointi - Sovellus aaltoyhtälön vaimennukseen

Tässä työssä tarkastellaan muodon optimoinnin tehtäviä yleisesti sekä erästä sovellusta kaksiulotteisen reunoiltaan kiinnitetyn värähtelevän kalvon optimaaliseen vaimennukseen. Muodon optimoinnin ongelmia esiintyy monissa fysikaalisissa tehtävissä, joissa etsitään optimaalista geometrista muotoa sekä mahdollisesti sen topologisia ominaisuuksia. Kohdefunktionaalin evaluointiin liittyy usein osittaisdifferentiaaliyhtälön numeerinen ratkaisu. Muodon optimointitehtävän ratkaisua etsitään työssä iteratiivisesti gradienttimenetelmällä sileäreunaisten joukkojen kokoelmasta. Optimoitavan joukon reuna esitetään implisiittifunktion avulla ja sitä kuljetetaan tasa-arvojoukkojen menetelmällä. Kirjallisuudesta esitellään numeerisia menetelmiä, joilla tehtävän ratkaisija toteutetaan käytännössä. Lisäksi pohditaan esitetyn lähestymistavan ongelmia. Aaltoyhtälön vaimennustehtävä ratkaistaan kirjallisuudessa esitetyllä menetelmällä. Aikaisemman differenssimenetelmiin perustuvan lähestymistavan sijaan käytetään elementtimenetelmää. Näin voidaan ratkoa tehtävä yleisemmän muotoisissa geometrioissa ja toisaalta saadaan vastaava optimointitehtävä konvergoimaan huomattavasti pienemmällä diskretointipisteiden lukumäärällä. Numeerisen ratkaisun löytäminen edellyttää alkudatalta sileyttä ja alkuarvaukselta sopivia topologisia ominaisuuksia. Nämä ilmiöt havaitaan kokeellisesti