Quelques propriétés des algèbres de von Neumann<br />engendrées par des q-Gaussiens

This work is at the crossroads of operator algebra andnon-commutative probability theories. Some properties of$\Gamma_{q}(H_{\R})$ are investigated, where $\Gamma_{q}(H_{\R})$stands for the von Neumann algebra generated by non-commutative$q$-deformed Gaussian variables . These variables are given asoperators acting on a $q-$deformed Fock space where the$q$-canonical commutation relations are realized by non-commutativeshift operators.Some $L^{\infty}$-Khintchin type inequalities with operatorcoefficients, concerning Wick products of a given length, arediscussed and established in the first chapter. These inequalitiesextend, on the one hand Haagerup's scalar inequalities in the freecase and, on the other hand Bo\.zejko and Speicher's operatorcoefficients inequalities for $q$-Gaussians. From those inequalitiesfollows the non-injectivity of $\Gamma_{q}(H_{\R})$ as soon as$\dim_{\R}(H_{\R})> 1$.The second chapter is devoted to the construction of an asymptoticmatricial model for $q$-Gaussian variables. Such a model is thenused to prove that all $q$-Gaussian algebras are QWEP.The $C^*-$algebraic case is also investigated and, the precedingresults are studied and stated for various other generalized$q$-Gaussian algebras such as type $I\!I\!I$ $q$-Gaussian algebrasand $T-$deformed Gaussian algebras where $T$ is a Yang-Baxteroperator.Ce travail est au confluent de la théorie des algèbres d'opérateurset des probabilités non-commutatives. Nous étudions les propriétésdes algèbres de von Neumann, $\Gamma_{q}(H_{\R})$, engendrées pardes variables Gaussiennes non-commutatives et $q$-déformées. Cesvariables $q$-Gaussiennes sont des opérateurs agissant sur l'espacede Fock $q$-déformé, où sont réalisées les relations de$q$-commutations canoniques.Dans la première partie de ce mémoire, nous établissons desinégalités à coefficients opérateurs de type Khintchine-$L^{\infty}$pour les produits de Wick des algèbres $q$-Gaussiennes. Cesinégalités étendent d'un côté les inégalités scalaires dues àHaagerup dans le cas libre et d'un autre côté les inégalités àcoefficients opérateurs, pour les $q$-Gaussiens, dues à Bo\.zejko etSpeicher. A l'aide de ces inégalités nous en déduisons que lesalgèbres $\Gamma_q(H_{\R})$ sont non injectives dès que$\dim_{\R}(H_{\R})\ge 2$.La deuxième partie est dédiée à la construction d'un modèleasymptotique matriciel pour les variables $q$-Gaussiennes.L'existence d'un tel modèle nous permet de prouver que les algèbres$\Gamma_{q}(H_{\R})$ sont QWEP.Chemin faisant, nous traitons également le cas $C^*-$algébrique etétudions diverses généralisations des résultats précédents pour lesdéformations par opérateur de Yang-Baxter et pour les déformations$q$-Gaussiennes de type $I\!I\!I$