Álgebra e pensamento algébrico de alunos do 8º ano

Tese de mestrado em Educação (Didáctica da Matemática), apresentada à Universidade de Lisboa através da Faculdade de Ciências, 2007Este estudo procura compreender o trabalho desenvolvido pelos alunos do 8° ano ao trabalhar com situações que envolvem o pensamento algébrico, antes e depois de uma unidade de ensino orientada para o desenvolvimento deste pensamento. Assim, pretende responder às seguintes questões: Qual a perspectiva da Álgebra em que os alunos se enquadram e como é que lidam com os símbolos, antes e depois desta unidade de ensino? Quais as dificuldades e erros mais significativos que ocorrem quando os alunos simplificam expressões algébricas, operam com polinómios, resolvem equações e problemas, antes e depois desta unidade de ensino? Esta unidade de ensino é composta por duas unidades temáticas do Programa de Matemática do 8° ano de escolaridade. A primeira permite que os alunos vão desenvolvendo o pensamento algébrico e elaborem generalizações e a segunda trabalha o carácter mais formal da Álgebra, de um modo mais abstracto, envolvendo a compreensão de técnicas de manipulação de símbolos, simplificação de expressões, operações com polinómios e resolução de equações e problemas. Esta unidade de ensino aposta numa diversidade de tarefas (de investigação/ exploração, problemas, exercícios e jogo) e de tipo de trabalho dos alunos (individual, aos pares, em pequeno grupo, em grupo-turma). A metodologia de investigação é de natureza qualitativa, seguindo o paradigma interpretativo. Trata-se de um estudo sobre a minha própria prática, profissional. A recolha de dados foi efectuada recorrendo a entrevistas, questionários, diário de bordo e documentos produzidos pelos alunos. Os resultados do estudo mostram que os alunos desenvolveram o seu pensamento algébrico. Ao longo de todo o estudo, mantiveram um bom desempenho na perspectiva processual da Álgebra. Em relação à perspectiva estrutural, os alunos também evoluíram, dado que, no final do estudo, deixaram de cometer a maior parte dos erros ao trabalhar no campo algébrico. Em relação à interpretação dos sinais de + e de -, também se verificaram mudanças. Os alunos que inicialmente não aceitavam que esses sinais possam representar uma operação suspensa ou uma operação executável com regras algébricas, passaram a fazê-lo. Os alunos ultrapassaram os erros de eliminação, enquanto que os erros que surgem da aplicação da propriedade distributiva ainda persistiram, mas em menor quantidade. Em relação à resolução de problemas, os alunos passaram a adoptar estratégias algébricas em detrimento das aritméticas. Este estudo reforça a noção que a compreensão dos conceitos algébricos fundamentais é um processo lento e que esta aprendizagem não se esgota num só ano de escolaridade.This study seeks to understand the work developed by grade 8 students in situations involving algebraic thought, before and after experiencing a teaching unit oriented towards the development of this thought. Il intends to answer the following questions: What is the perspective of algebra that frames the work of the students and how do they deal with symbols, before and after this unit? Which are the more significant difficulties and errors which occur when the students simplify algebraic expressions, operate with polynomials, and solve equations and problems, before and after this unit? This unit is composed by two chapters of the national mathematics syllabus for grade 8. The first chapter allows students to develop their algebraic thought and elaborate generalisations. The second chapter works with more formal aspects of algebra, in a more abstract way, involving the comprehension of techniques of symbol manipulation, simplification of expressions, operations with polynomials and solving equations and problems. This unit uses a diversity of tasks (investigations/explorations, problems, exercises and games) and also a diversity of the type of work of the students (individual, pairs, small groups, and group-class). The methodology of investigation is qualitative, following the interpretative paradigm. It is a study on my own professional practice. The collecting of data was made based on interviews, questionnaires, diary, and documents produced by the students. The results of the study show that the students developed their algebraic thought. During all the study, they maintained a good performance in the processual perspective of algebra. In what concerns the structural perspective, they also evolved, since, at the end of the study, they did not make most of their previous errors in working in the algebraic field. In what concerns the interpretation of the signals + and -, changes also occurred. The students that, in the beginning, did not accept that these signals may represent a suspense operation or an executable operation with algebraic rules, finally accepted it. They overcome the errors of elimination, but the errors that come from the application of the distributive property persisted, although in lesser quantity. In what concerns solving problems, the students increasingly adopted algebraic strategies instead of arithmetical ones. This study reinforces the notion that the comprehension of the fundamental algebraic concepts is a slow process and that such leaming is not accomplished in a year of school