Dynamics and limits in algebraic combinatorics

This thesis consists of the following six articles. Properties of the Edelman-Greene bijection. Edelman and Greene constructed a correspondence between reduced words of the reverse permutation and standard Young tableaux. We prove that for any reduced word the shape of the region of the insertion tableau containing the smallest possible entries evolves exactly as the upper-left component of the permutation's (Rothe) diagram. Properties of the Edelman-Greene bijection restricted to 132-avoiding and 2143-avoiding permutations are presented. We also consider the Edelman-Greene bijection applied to non-reduced words. On random shifted standard Young tableaux and 132-avoiding sorting networks. We study shifted standard Young tableaux (SYT). The limiting surface of uniformly random shifted SYT of staircase shape is determined, with the integers in the SYT as heights. This implies via properties of the Edelman-Greene bijection results about random 132-avoiding sorting networks, including limit shapes for trajectories and intermediate permutations. Moreover, the expected number of adjacencies in SYT is considered. It is shown that on average each row and each column of a shifted SYT of staircase shape contains precisely one adjacency. The cyclic sieving phenomenon on circular Dyck paths. We give a q-enumeration of circular Dyck paths, which is a superset of the classical Dyck paths enumerated by the Catalan numbers. These objects have recently been studied by Alexandersson and Panova. Furthermore, we show that this q-analogue exhibits the cyclic sieving phenomenon under a natural action of the cyclic group. The enumeration and cyclic sieving is generalized to Möbius paths. We also discuss properties of a generalization of cyclic sieving, which we call subset cyclic sieving, and introduce the notion of Lyndon-like cyclic sieving that concerns special recursive properties of combinatorial objects exhibiting the cyclic sieving phenomenon. The exact phase diagram for a semipermeable TASEP with nonlocal boundary jumps. We consider a finite one-dimensional totally asymmetric simple exclusion process (TASEP) with four types of particles, 1, 0, -1, and *, in contact with reservoirs. Particles of species 0 can neither enter nor exit the lattice, and those of species * are constrained to lie at the first and last site. Particles of species 1 enter from the left reservoir into either the first or second site, move rightwards, and leave from either the last or penultimate site. Conversely, particles of species -1 enter from the right reservoir into either the last or penultimate site, move leftwards, and leave from either the first or second site. This dynamics is motivated by a natural random walk on the Weyl group of type D. We compute the exact nonequilibrium steady state distribution using a matrix ansatz building on earlier work of Arita. We then give explicit formulas for the nonequilibrium partition function as well as densities and currents of all species in the steady state, and derive the phase diagram. Limiting directions for random walks in classical affine Weyl groups. Let W be a finite Weyl group and W_a the corresponding affine Weyl group. A random element of W_a can be obtained as a reduced random walk on the alcoves of W_a. By a theorem of Lam (Ann. Prob. 2015), such a walk almost surely approaches one of |W| many directions. We compute these directions when W is B_n, C_n and D_n and the random walk is weighted by Kac and dual Kac labels. This settles Lam's questions for types B and C in the affirmative and for type D in the negative. The main tool is a combinatorial two row model for a totally asymmetric simple exclusion process called the D*-TASEP, with four parameters. By specializing the parameters in different ways, we obtain TASEPs for each of the Weyl groups mentioned above. Computing certain correlations in these TASEPs gives the desired limiting directions. Refined Catalan and Narayana cyclic sieving. We prove several new instances of the cyclic sieving phenomenon (CSP) on Catalan objects of type A and type B. Moreover, we refine many of the known instances of the CSP on Catalan objects. For example, we consider triangulations refined by the number of "ears", non-crossing matchings with a fixed number of short edges, and non-crossing configurations with a fixed number of loops and edges.Denna avhandling består av följande sex artiklar. Properties of the Edelman-Greene bijection. Edelman och Greene konstruerade en bijektion mellan reducerade ord av den omvända permutationen och Youngtablåer med standardfyllning. Vi bevisar att för varje reducerat ord ändras formen på insättningstablåns region som innehåller de minsta möjliga elementen exakt som den övre vänstra komponenten av permutationens diagram. Egenskaper hos Edelman-Greenebijektionen begränsad till 132- och 2143-undvikande permutationer beskrivs. Vi betraktar också Edelman-Greenebijektionen tillämpad på oreducerade ord. On random shifted standard Young tableaux and 132-avoiding sorting networks. Vi studerar skiftade Youngtablåer med standardfyllning (SYT). Gränsformen av ytan av likformigt fördelade skiftade SYT med trappform bestäms där heltalen i Youngtablån ger höjder. Den implicerar genom egenskaper hos Edelman-Greenebijektionen resultat om slumpmässiga 132-undvikande sorteringsnätverk, inkluderande gränsformer för banor och mellanliggande permutationer. Dessutom betraktar vi det förväntade antalet på varandra följande grannar i SYT. Det bevisas att i genomsnitt innehåller varje rad och varje kolonn av en skiftad SYT med trappform precis ett sådant grannpar. The cyclic sieving phenomenon on circular Dyck paths. Cirkulära Dyck-stigar är en supermängd till de klassiska Dyck-stigarna enumererade av Catalantal. Dessa objekt har nyligen studerats av Alexandersson och Panova. Vi beräknar antalet cirkulära Dyck-stigar förfinat med avseende på flera parametrar. Dessutom visar vi att denna q-analog uppvisar det cykliska sållfenomenet under en naturlig gruppverkan av den cykliska gruppen. Resultaten är generaliserade till möbiusstigar. Vi diskuterar också egenskaper hos en generalisering av sållfenomenet som vi kallar delmängdssållfenomenet och introducerar begreppet Lyndon-lika sållfenomen för speciella rekursiva egenskaper hos kombinatoriska objekt som uppvisar det cykliska sållfenomenet. The exact phase diagram for a semipermeable TASEP with nonlocal boundary jumps. Vi betraktar en ändlig endimensionell totalt asymmetrisk enkel exklusionprocess (TASEP) med fyra typer av partiklar, 1, 0, -1, och *, med reservoarer i ändpunkterna. Partiklar av art 0 kan varken inträda i eller lämna gittret, och de av art * är begränsade att ligga på den första eller sista platsen. Partiklar av art 1 inträder från den vänstra reservoaren till antingen den första eller andra platsen, rör sig till höger och lämnar från antingen den sista eller nästsista platsen. Omvänt, partiklar av typ -1 inträder från den högra reservoaren i antingen den sista eller nästsista platsen, rör sig till vänster och lämnar från antingen den första eller andra platsen. Den här dynamiken är motiverad av en naturlig slumpvandring på Weylgruppen av typ D. Vi beräknar den exakta icke-jämvikt stationära fördelningen med en matrisansats som bygger på tidigare arbete av Arita. Vi ger sedan explicita formler för den icke-jämvikt partitionsfunktionen samt densiteter och flöde för alla arter i jämviktstillståndet, och härleder fasdiagrammet. Limiting directions for random walks in classical affine Weyl groups. Låt W vara en ändlig Weylgrupp och W_a den motsvarande affina Weylgruppen. Ett slumpmässigt element av W_a kan fås som en reducerad slumpvandring på alkoverna av W_a. Enligt en sats av Lam (Ann. Prob. 2015) närmar sig en sådan vandring en av |W| möjliga riktningar. Vi beräknar dessa riktningar när W är B_n, C_n och D_n och slumpvandringen är viktad med Kac- och duala Kac-vikter. Det här besvarar Lams frågor för typerna B och C i det affirmativa och för typ D i det negativa. Det huvudsakliga verktyget är en kombinatorisk tvåradsmodell för en totalt asymmetrisk enkel exklusionprocess som vi kallar D*-TASEP, med fyra parametrar. Genom att specialisera parametrarna på olika sätt får vi en TASEP för varje Weylgrupp nämnd ovan. Beräkning av vissa korrelationer i dessa processer ger de eftersträvade gränsriktningarna. Refined Catalan and Narayana cyclic sieving. Vi bevisar flera nya instanser av det cykliska sållfenomenet på Catalan-objekt av typ A och B, samt flera förfiningar av det cykliska sållfenomenet på Catalan-objekt. Till exempel betraktar vi trianguleringar förfinade enligt antalet "öron", icke-korsande matchningar med ett fixt antal korta kanter och icke-korsande konfigurationer med ett fixt antal öglor och kanter