Dynamique non linéaire des filaments d'actine et d'ADN

Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique de quelques propriétés\ud dynamiques des biopolymères. Nous proposons une justification mathématique d'une\ud relation de capacité non linéaire pour un filament d'actine en utilisant l'équation de\ud Poisson-Boltzmann. Nous introduisons aussi une première méthodologie pour établir\ud un modèle qualitatif simplifié décrivant le couplage entre la dynamique d'un biopoly-\ud mère chargé et son nuage ionique grâce à des effets électrostatiques. Nous considérons\ud le cas d'un filament d'actine représenté par une chaîne de particules en zig-zag et nous\ud calibrons ce modèle à partir de données expérimentales sur la constante de raideur de\ud l'actine. A partir d'un modèle continu de dérive-diffusion pour la densité des contre-ions\ud environnants, nous obtenons une équation de diffusion discrète pour la dynamique des\ud charges ioniques qui se couple aux équations du mouvement des monomères d'actine.\ud Des simulations numériques du modèle couplé montrent que des ondes mécaniques qui\ud se propagent le long du polymère peuvent générer des ondes de densité de charge avec\ud des intensités de l'ordre du pA, en accord avec des mesures expérimentales des courants\ud ioniques le long de l'actine. Enfin, nous étudions l'existence de breathers discrets dans\ud une version modifiée du modèle de Peyrard-Bishop pour les fluctuations d'ouverture\ud d'ADN. Dans ce nouveau modèle, la fermeture des bases est entravée par une barrière\ud d'énergie. En utilisant une nouvelle méthode de continuation à partir de l'infini, nous\ud prouvons pour des couplages faibles, l'existence de breathers de grande amplitude et\ud basses fréquences situées en dehors de zones de résonance. Ces résultats sont complétés par des simulations numériques du modèle. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- This thesis is dedicated to the mathematical study of some properties\ud of biopolymers dynamics. We propose a mathematical justification of a nonlinear\ud capacitance relation for an actin filament using the Poisson-Boltzmann equation. We\ud also introduce a first methodology to derive a qualitatively simple model coupling the\ud dynamics of a charged biopolymer and its surrounding counterions via electrostatic\ud effects. We consider the case of a single actin filament represented by a zig-zag chain\ud model. This model is calibrated using experimental data on the stiffness constant of\ud actin. We derive a discrete diffusion equation for the density of ionic surrounding\ud charges in a one-dimensional grid along actin from de continuum drift-diffusion model\ud describing counterion dynamics. Numerical simulations of the coupled model show\ud that mechanical waves propagating along the polymer can generate charge density\ud waves with intensities in the pA range, in agreement with experimental measurements\ud of ionic currents along actin. Finally, we study the existence of discrete breathers in a\ud modified version of the Peyrard-Bishop model for DNA breathing in which the reclosing\ud of base pairs is hindered by an energy barrier. Using a new kind of continuation\ud from infinity, we prove for weak couplings the existence of large amplitude and low\ud frequencies breathers lying outside resonance zones. These results are completed by\ud numerical simulations of the model