Chaos synchronization in networks with time-delayed couplings

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Chaossynchronisation in Netzwerken mit zeitverzögerten Kopplungen. Ein Netzwerk chaotischer Einheiten kann isochron und vollständig synchronisieren, auch wenn der Austausch der Signale einer oder mehreren Verzögerungszeiten unterliegt. In einem Netzwerk identischer Einheiten hat sich als Stabilitätsanalyse die Methode der Master Stability Funktion von Pecora und Carroll etabliert. Diese entspricht für ein Netzwerk gekoppelter iterativer Bernoulli-Abbildungen Polynomen vom Grade der größten Verzögerungszeit. Das Stabilitätsproblem reduziert sich somit auf die Untersuchung der Nullstellen dieser Polynome hinsichtlich ihrer Lage bezüglich des Einheitskreises. Eine solche Untersuchung kann beispielsweise numerisch mit dem Schur-Cohn-Theorem erfolgen, doch auch analytische Ergebnisse lassen sich erzielen. In der vorliegenden Arbeit werden Bernoulli-Netzwerke mit einer oder mehreren zeitverzögerten Kopplungen und/oder Rückkopplungen untersucht. Hierbei werden Aussagen über Teile des Stabilitätsgebietes getroffen, welche unabhängig von den Verzögerungszeiten sind. Des Weiteren werden Aussagen zu Systemen gemacht, welche sehr große Verzögerungszeiten aufweisen. Insbesondere wird gezeigt, dass in einem Bernoulli-Netzwerk keine stabile Chaossynchronisation möglich ist, wenn die vorhandene Verzögerungszeit sehr viel größer ist als die Zeitskala der lokalen Dynamik, bzw. der Lyapunovzeit. Außerdem wird in bestimmten Systemen mit mehreren Verzögerungszeiten anhand von Symmetriebetrachtungen stabile Chaossynchronisation ausgeschlossen, wenn die Verzögerungszeiten in bestimmten Verhältnissen zueinander stehen. So ist in einem doppelt bidirektional gekoppeltem Paar ohne Rückkopplung und mit zwei verschiedenen Verzögerungszeiten stabile Chaossynchronisation nicht möglich, wenn die Verzögerungszeiten in einem Verhältnis von teilerfremden ungeraden ganzen Zahlen zueinander stehen. Es kann zudem Chaossynchronisation ausgeschlossen werden, wenn in einem bipartiten Netzwerk mit zwei großen Verzögerungszeiten zwischen diesen eine kleine Differenz herrscht. Schließlich wird ein selbstkonsistentes Argument vorgestellt, das das Auftreten von Chaossynchronisation durch die Mischung der Signale der einzelnen Einheiten interpretiert und sich unter anderem auf die Teilerfremdheit der Zyklen eines Netzes stützt. Abschließend wird untersucht, ob einige der durch die Bernoulli-Netzwerke gefundenen Ergebnisse sich auf andere chaotische Netzwerke übertragen lassen. Hervorzuheben ist die sehr gute Übereinstimmung der Ergebnisse eines Bernoulli-Netzwerkes mit den Ergebnissen eines gleichartigen Netzwerkes gekoppelter Halbleiterlasergleichungen, sowie die Übereinstimmungen mit experimentellen Ergebnissen eines Systems von Halbleiterlasern.A network consisting of chaotic units can exhibit isochronal and complete synchronisation even if the signals need certain delay times from one unit to another. A common method to analyze the stability of such a synchronization is the master stability function by Pecora and Carroll. For a network of coupled iterative Bernoulli maps the master stability function reduces to the solution of polynoms with degree of the largest delay time. Therefore analyzing the stability means analyzing the roots of these polynomials concerning their value with respect to the unit circle. This can be done numerically by using the Schur-Cohn theorem, but analytic results are possible, as well. In this work Bernoulli networks with one or more time-delayed couplings and/or self-feedbacks are analyzed. Parts of the stability region which are independent of the value of the delay times have been found. Furthermore systems with large time delays have been analyzed. There is no stable chaos synchronization if the delay time is much larger than the internal time scale or the Lyapunov time, respectively. Stable synchronization can be excluded for certain systems with several delay times due to symmetry arguments concerning the ratios between the delay times. For example, a pair which is bidirectionally coupled with two delay times cannot exhibit stable chaos synchronization if these two delay times are in a ratio of relatively prime, odd numbers. Furthermore, chaos synchronization can be excluded for a bipartite network in which two large delay times differ by a small amount. Finally, a self consistent argument is presented which interprets chaos synchronization as a result of mixing signals of each unit in the network and which is supported by results of non-negative matrices concerning relatively prime cycles in a network. The results of the Bernoulli networks are tested on several chaotic networks. There is a very good agreement of the analytic results of Bernoulli networks with networks of coupled semiconductor laser equations as well as a very good agreement with real life experiments of semiconductor laser systems