Mathematical Models of Market Penetration

K modelování tržní penetrace po uvedení nového produktu na trh existuje mnoho různorodých matematických modelů. Obvykle uvažují nekonečnou, homogenní populaci a spojitý čas. Uvedené předpoklady mohou být v rozporu s reálným světem, ve kterém je zjevně struktura sociálních sítí jemnější a komplexnější. Kromě nereálného předpokladu nekonečné populace zmiňme naivní předpoklad homogenity. Tendence jedinců uvedený produkt zakoupit však může být ovlivněna různými faktory, např. věkem, pohlavím nebo ekonomickou situací. Diplomová práce se proto věnuje návrhu alternativních matematických modelů uvažujících diskrétní stavový prostor a diskrétní čas, umožňujících modelování tržní penetrace (nebo obecněji šíření inovace) ve strukturované a nehomogenní populaci. Postupné šíření inovace na zvolených grafových strukturách je modelováno za pomoci Markovského řetězce s diskrétním stavovým prostorem. Jsou formulována dvě pravidla, podle kterých jedinci inovaci přijímají. V simulacích pro nehomogenní populaci je použita teorie small-world předpokládající sdružování lidí do shluků (rodina, stát, pracovní tým) a krátký řetězec osob mezi libovolnými dvěma jedinci v populaci (v řetězci jsou vždy spojeni takoví jedinci, kteří se vzájemně znají). Simulace (a v některých jednodušších případech rovněž analytická odvození) naznačují, že inovace se obecně šíří rychleji v grafech s menším počtem vrcholů a vyšší konektivitou, tj. v menších sociálních sítích s vyšším počtem vazeb mezi jednotlivci. Rychlost šíření naopak snižuje přítomnost imunních členů v populaci (v některých případech se vlivem imunních jedinců inovace nerozšíří ke všem potenciálním zájemcům) nebo rozdíl mezi pravděpodobnostmi přijmutí inovace v nehomogenních skupinách.ObhájenoMany different mathematical models exist to describe market penetration after a new product is launched on a market. They usually assume an infinite continuous population and continuous time. These premises might be at odds with the real world, as the population is probably much more diverse and complex. Apart from the unrealistic assumption of an infinite population, the naive premise of homogeneous individuals should also be considered. The tendency of each individual to buy the product might vary depending on their age, gender, financial situation, and many other factors. The goal of this master's thesis is to build alternative mathematical models considering discrete state space and discrete time, that will allow the description of market penetration (or, more generally, the diffusion of innovation), in a structured and heterogeneous population. The gradual spread of the innovation on selected graph structures is modelled using Markov chains with discrete state space. Two rules of how individuals adopt the innovation are defined. The theory of small-world networks assumes that people tend to form dense groups (family, state, project team) and there is a short chain of people connecting any two members in the social network (when people that know each other are connected in the chain). Simulations (and analytical derivation in some simpler cases) suggest that innovation generally spreads faster in graphs with high connectivity and a smaller number of vertices (i.e. in smaller social webs with a higher number of links between individuals). On the other hand, the speed of adoption is reduced by the presence of immune individuals (the innovation will not even reach all potential adopters in some cases, when immune members are present) or by differences between probabilities of adoption in heterogeneous groups