Wave propagation and scattering at metamaterials’ macroscopic boundaries via the relaxed micromorphic model

Les métamatériaux mécaniques microstructurés attirent de plus en plus l'attention de la communauté scientifique et technique. Nous choisissons une approche qui évoque la théorie classique de l'élasticité : celle de la mécanique des milieux continus enrichie. Le but de cette thèse est d'utiliser le nouveau modèle de continuité enrichie appelé modèle micromorphique relaxé détendu afin d'étudier la propagation des ondes et les phénomènes de diffusion aux interfaces entre matériaux et métamatériaux. Lorsqu'il s'agît d'étudier les propriétés de diffusion de structures de taille finie, il devient difficile de traiter les conditions limites correctes. Nous montrons comment les problèmes aux valeurs limites de domaines finis peuvent être mis en place dans le cadre du modèle micromorphique relaxé. Nous mettons en place la solution d'onde plane complète de la diffusion à partir d'une interface séparant un milieu de Cauchy d'un milieu micromorphique relaxé. Les conditions aux limites macroscopiques généralisées sont présentées. Ils permettent de bien décrire les propriétés de diffusion. Le flux d'énergie généralisé associé est introduit. On considère deux cas différents dans lesquels le milieu homogène gauche est soit plus rigide soit plus flexible que le métamatériau droit et le coefficient de transmission est obtenu en fonction de la fréquence et de la direction de propagation. Le contraste des raideurs macroscopiques des deux milieux, influencent l'apparition des ondes Stoneley. On considère par la suite un problème de propagation des ondes de volume et on démontre que les formes d'ondes transitoires résultant de plusieurs impulsions localisées dans un matériau microstructuré peuvent être reproduite. Nous comparons la réponse dynamique d'un matériau microstructuré et lié à celle d'un milieu lié avec des propriétés cinématiques particulières. On démontre que, bien que la théorie de Cauchy soit capable de décrire le comportement global de la métastructure à de basses fréquences, le modèle micromorphique détendu va bien au-delà en donnant une description correcte de la propagation de l'impulsion dans la bande de fréquence et à des fréquences qui croisent les branches optiques. Enfin, on présente le cas d'une dalle de métamatériau de largeur finie. Ses propriétés de diffusion sont étudiées en utilisant une solution semi-analytique du modèle micromorphique relaxé et comparées à des simulations. Le coefficient de réflexion obtenu par les deux méthodes est présenté en fonction de la fréquence et la direction de propagation de l'onde incidente. On trouve un excellent accord pour une large gamme de fréquences, allant de la limite des ondes longues aux fréquences au-delà de la première limite de la bande, et pour des angles d'incidence allant d'une incidence normale à une incidence presque parallèle. Le cas d’un métamatériau semi-infinie est également présenté et est considéré comme une mesure fiable du comportement moyen de la métastructure finie.Mechanical microstructured metamaterials are increasingly gaining attention from the scientific and engineering community. The question of modeling the behavior of metamaterials is of extreme importance. Some choose an approach, which is reminiscent of the classical theory of elasticity: enriched continuum mechanics. We employ the enriched continuum model named relaxed micromorphic model in order to study wave propagation and scattering at interfaces between materials and metamaterials. Dealing with the correct boundary conditions at the macroscopic scale becomes challenging. We show how finite-domain boundary value problems can be set-up in the framework of the relaxed micromorphic model. We set up the full plane wave solution of the scattering from an interface separating a Cauchy medium from a relaxed micromorphic one. Both media are isotropic and semi-infinite. Generalized macroscopic boundary conditions are presented, which allow the effective description of the scattering properties of an interface between a homogeneous solid and a mechanical metamaterial. The associated generalized energy flux is introduced. We show that the contrast of the macroscopic stiffnesses of the two media, together with the type of boundary conditions strongly influence the onset of Stoneley waves at the interface. This allows to tailor the scattering properties of the interface at both low and high frequencies, ranging from zones of complete transmission to zones of zero transmission well beyond the band-gap. We then consider a bulk wave propagation problem and show that the transient waveforms arising from several localised pulses in a micro-structured material can be reproduced. We compare the dynamic response of a bounded micro-structured material to that of bounded continua with special kinematic properties. We show that, while the Cauchy theory is able to describe the overall behavior of the metastructure only at low frequencies, the relaxed micromorphic model goes far beyond by giving a correct description of the pulse propagation in the frequency bandgap and at frequencies intersecting the optical branches. Finally, we present the case of a metamaterial slab of finite width. Its scattering properties are studied via a semi-analytical solution of the relaxed micromorphic model and compared to numerical simulations encoding all details of the selected microstructure. The reflection coefficient obtained via the two methods is presented as a function of the frequency and the direction of propagation of the incident wave. We find excellent agreement for a large range of frequencies. The case of a semi-infinite metamaterial is also presented and is seen to be a reliable measure of the average behavior of the finite metastructure